Đúng/Sai · Câu 44
Xưởng $ M $ sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng theo tính toán trong một tháng, nếu xưởng sản xuất không quá 150 sản phẩm thì tổng chi phí sản xuất là $ C(x)=\frac { x ^ { 3 } } { 3000 }-\frac { 7 } { 40 }x ^ { 2 } +30x+1000 $ (triệu đồng) và hàm doanh thu khi đó là $ R(x)=-2x ^ { 2 } +300x $ (triệu đồng), với $ x $ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xưởng $ M $ khi đó được xác định bằng hàm số $ P(x)=R(x)-C(x) $ (triệu đồng).
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
- Khi xưởng không sản xuất sản phẩm nào, tức là $ x=0 $, thì chi phí sản xuất là $ C(0)=1000 $ (triệu đồng), tức là số tiền ban đầu xưởng phải bỏ ra là 1 tỉ đồng.
Suy ra a) Đúng.
- Ta có $ C(x)=\frac { x ^ { 3 } } { 3000 }-\frac { 7 } { 40 }x ^ { 2 } +30x+1000 $ (triệu đồng),
$ C ^ { ′ } (x)=\frac { x ^ { 2 } } { 1000 }-\frac { 7 } { 20 }x+30\geq 0;\quad ∀x\in [0;150] $
Hàm số $ C(x) $ đồng biến trên đoạn $ [0;150] $, do đó chi phí sản xuất luôn tăng khi số sản phẩm tăng.
Suy ra b) Đúng.
- Ta có hàm doanh thu là $ R(x)=-2x ^ { 2 } +300x $ (triệu đồng), do đó $ R ^ { ′ } (x)=-4x+300 $.
Do $ R ^ { ′ } (x)=0\Leftrightarrow x=75 $ nên dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu của xưởng đạt cực đại khi số sản phẩm là 75 sản phẩm.
Suy ra c) Sai.
- Hàm lợi nhuận của xưởng $ M $ khi sản xuất không quá 150 sản phẩm là:
$ P(x)=R(x)-C(x)=-\frac { x ^ { 3 } } { 3000 }-\frac { 73 } { 40 }x ^ { 2 } +270x-1000 $(triệu đồng)
Ta tính $ P ^ { ′ } (x)=-\frac { x ^ { 2 } } { 1000 }-\frac { 73 } { 20 }x+270 $.
Do $ P ^ { ′ } (x)=0\Rightarrow x≈72,5 $ (vì $ x\in [0;150] $).
Lập bảng biến thiên của hàm số $ P(x) $ ta thấy điểm cực đại của hàm lợi nhuận của xưởng khác điểm cực đại của hàm doanh thu của xưởng.
Suy ra d) Sai.