Đúng/Sai · Câu 45
Một tấm bạt hình vuông cạnh 20 m như hình vẽ bên. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đường may không đáng kể), nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (tháp có dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi trời mưa. Gọi độ dài cạnh đáy hình vuông của tháp là $ x(m) $. Kí hiệu hình chóp tứ giác đều là $ S.ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm $ AB,CD $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
- Do tháp dạng hình chóp tứ giác đều nên $ S⋅ABCD $ là hình chóp tứ giác đều, suy ra độ dài bốn cạnh bên của phần bạt phủ tháp đèn bằng nhau.
Suy ra a) Đúng.
- Độ dài đường chéo tấm bạt bằng $ 20\sqrt[] { 2 }( m) $.
$ MN=x(m),SN=\frac { 20\sqrt[] { 2 }-x } { 2 }(m) $ với $ 0 < x < 10\sqrt[] { 2 } $.
Gọi $ O $ là tâm của hình vuông, ta có:
$ SO=\sqrt[] { SN ^ { 2 } -ON ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 20\sqrt[] { 2 }-x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } =\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 800-40\sqrt[] { 2 }x } $
Khi đó $ a=800;b=40⇒\frac { a } { b }=20 $.
Suy ra b) Đúng.
- Thể tích khối chóp:
$ V=\frac { 1 } { 3 }S_{ ABCD } ⋅SO=\frac { 1 } { 6 }x ^ { 2 } \sqrt[] { 800-40\sqrt[] { 2 }x }\left ( { m ^ { 3 } } \right ) $
Ta có: $ V ^ { ′ } =\frac { 20x(80-5\sqrt[] { 2 }x) } { 6\sqrt[] { 800-40\sqrt[] { 2 }x } } $;
$ V ^ { ′ } =0⇒x=8\sqrt[] { 2 } $ với $ 0 < x < 10\sqrt[] { 2 } $.
Xét bảng biến thiên:
Hàm số $ V $ đạt cực đại tại $ x=8\sqrt[] { 2 } $.
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp đạt được khi cạnh đáy của hình chóp bằng $ 8\sqrt[] { 2 } m $.
Suy ra c) Sai.
- Diện tích phần bạt cần dùng là
$ S=S_{ ABCD } +4⋅S_{ SAB } =(8\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } +4⋅\frac { 1 } { 2 }⋅\frac { 20\sqrt[] { 2 }-8\sqrt[] { 2 } } { 2 }⋅8\sqrt[] { 2 }=320\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $
Suy ra d) Sai.