Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ trên $ \mathbb{R} $ và đồ thị của hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ như hình vẽ. Hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+x ^ { 2 } -x+2025 $ có bao nhiêu điểm cực trị?

Ta có $ g'\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $ Điểm cực trị của hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ là nghiệm của phương trình $ g'\left ( { x } \right )=0 $ tức là nghiệm của phương trình $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $suy ra điểm cực trị của hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ cũng là hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right );\,y=x ^ { 2 } -2x+1 $. Vẽ đồ thị của các hàm số $ y=f'\left ( { x } \right );\,y=x ^ { 2 } -2x+1 $ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ sau: Dựa vào đồ thị trên ta thấy $ g'\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } =0 $có 3 nghiệm phân biệt và đều đổi dấu qua các nghiệm đó nên hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+x ^ { 2 } -x+2025 $ có 3 điểm cực trị.