Đúng/Sai · Câu 46
Xét hàm số $ y=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +mx+1 $, với $ m $ là tham số. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
Ta có $ y ^ { ′ } =x ^ { 2 } -4x+m $.
- Khi $ m=4 $ thì $ y ^ { ′ } =x ^ { 2 } -4x+4=(x-2) ^ { 2 } \geq 0 $, suy ra hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Suy ra a) Sai.
- Khi $ m < 4 $ thì $ Δ ^ { ′ } =4-m>0 $ suy ra phương trình $ y ^ { ′ } =0 $ có hai nghiệm phân biệt, tức là hàm số có hai điểm cực trị.
Suy ra b) Đúng.
- Khi $ m=3 $, suy ra $ y ^ { ′ } =x ^ { 2 } -4x+3 $;$ y ^ { ′ } =0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=3 \\ \end{array} \right. $
Lập bảng biến thiên ta tìm được $ x=3 $ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Suy ra c) Sai.
- Hàm số có hai điểm cực trị đều dương
$ ⇔ $ Phương trình $ y ^ { ′ } =0 $ có hai nghiệm dương phân biệt
$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} Δ ^ { ′ } =4-m>0 \\ S=-\frac { b } { a }=4>0 \\ P=\frac { c } { a }=m>0 \end{array} \right.⇔0 < m < 4. $
Vì $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \{1;2;3\} $.
Vậy có 3 giá trị nguyên của $ m $ thoả mãn yêu cầu bài toán. Suy ra d) Đúng.