Bài tự luận · Bài 31
Dạng 2. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình – trung vị - tứ phân vị - mốt)
Bài tự luận Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 31
(CTST11) Một nhóm gồm 45 học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi. Số câu trả lời đúng của mỗi bạn được ghi lại ở bảng sau:
24 35 37 24 30 23 21 39 28 20 32 37 17 40 34
27 34 30 21 26 26 38 37 16 35 19 20 22 25 38
34 29 39 40 36 18 31 24 36 33 24 24 36 26 37
a) Tìm các tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Số câu trả lời đúng $[16;20]$ $[21;25]$ $[26;30]$ $[31;35]$ $[36;40]$
Số học sinh $?$ $?$ $?$ $?$ $?$
c) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
24 35 37 24 30 23 21 39 28 20 32 37 17 40 34
27 34 30 21 26 26 38 37 16 35 19 20 22 25 38
34 29 39 40 36 18 31 24 36 33 24 24 36 26 37
a) Tìm các tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Số câu trả lời đúng $[16;20]$ $[21;25]$ $[26;30]$ $[31;35]$ $[36;40]$
Số học sinh $?$ $?$ $?$ $?$ $?$
c) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Xem lời giải
Lời giải
a) Mẫu số liệu đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:
$16;17;18;19;20;20;21;21;22;23;24;24;24;24;24;25;26;26;26;27;28;29;30;30;31;32;33;34;34;34;35;35;36;36;36;37;37;37;37;38;38;39;39;40;40$.
Cỡ mẫu là $n=45$ là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là $Q_2=x_{23}=30$.
Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{1}{2}(x_{11}+x_{12})=\frac{1}{2}(24+24)=24$.
Tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{1}{2}(x_{34}+x_{35})=\frac{1}{2}(36+36)=36$.
b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Số câu trả lời đúng $[16;20]$ $[21;25]$ $[26;30]$ $[31;35]$ $[36;40]$
Số học sinh 6 10 8 8 13
c) Do số câu trả lời đúng của học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:
Số câu trả lời đúng $[15,5;20,5)$ $[20,5;25,5)$ $[25,5;30,5)$ $[30,5;35,5)$ $[35,5;40,5)$
Số học sinh 6 10 8 8 13
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là số câu trả lời đúng của 45 học sinh được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_6\in[15,5;20,5);x_7,\ldots,x_{16}\in[20,5;25,5);x_{17},\ldots,x_{24}\in[25,5;30,5);x_{25},\ldots,x_{32}\in[30,5;35,5);x_{33},\ldots,x_{45}\in[35,5;40,5)$.
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $x_{23}\in[25,5;30,5)$.
Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_2=25,5+\frac{\frac{45}{2}-(6+10)}{8}\cdot(30,5-25,5)=29,5625$.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $\frac{1}{2}(x_{11}+x_{12})$.
Do $x_{11}$ và $x_{12}$ thuộc nhóm $[20,5;25,5)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_1=20,5+\frac{\frac{45}{4}-6}{10}\cdot(25,5-20,5)=23,125$.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $\frac{1}{2}(x_{34}+x_{35})$. Do $x_{34}$ và $x_{35}$ thuộc nhóm $[35,5;40,5)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_3=35,5+\frac{\frac{3\cdot 45}{4}-(6+10+8+8)}{13}\cdot(40,5-35,5)\approx 36,173$.
$16;17;18;19;20;20;21;21;22;23;24;24;24;24;24;25;26;26;26;27;28;29;30;30;31;32;33;34;34;34;35;35;36;36;36;37;37;37;37;38;38;39;39;40;40$.
Cỡ mẫu là $n=45$ là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là $Q_2=x_{23}=30$.
Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{1}{2}(x_{11}+x_{12})=\frac{1}{2}(24+24)=24$.
Tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{1}{2}(x_{34}+x_{35})=\frac{1}{2}(36+36)=36$.
b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Số câu trả lời đúng $[16;20]$ $[21;25]$ $[26;30]$ $[31;35]$ $[36;40]$
Số học sinh 6 10 8 8 13
c) Do số câu trả lời đúng của học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:
Số câu trả lời đúng $[15,5;20,5)$ $[20,5;25,5)$ $[25,5;30,5)$ $[30,5;35,5)$ $[35,5;40,5)$
Số học sinh 6 10 8 8 13
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là số câu trả lời đúng của 45 học sinh được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_6\in[15,5;20,5);x_7,\ldots,x_{16}\in[20,5;25,5);x_{17},\ldots,x_{24}\in[25,5;30,5);x_{25},\ldots,x_{32}\in[30,5;35,5);x_{33},\ldots,x_{45}\in[35,5;40,5)$.
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $x_{23}\in[25,5;30,5)$.
Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_2=25,5+\frac{\frac{45}{2}-(6+10)}{8}\cdot(30,5-25,5)=29,5625$.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $\frac{1}{2}(x_{11}+x_{12})$.
Do $x_{11}$ và $x_{12}$ thuộc nhóm $[20,5;25,5)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_1=20,5+\frac{\frac{45}{4}-6}{10}\cdot(25,5-20,5)=23,125$.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{45}$ là $\frac{1}{2}(x_{34}+x_{35})$. Do $x_{34}$ và $x_{35}$ thuộc nhóm $[35,5;40,5)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_3=35,5+\frac{\frac{3\cdot 45}{4}-(6+10+8+8)}{13}\cdot(40,5-35,5)\approx 36,173$.