(Sở Nam Định 2025) Cho ba Parabol $ \left ( { P_{ 1 } } \right ):y=x ^ { 2 } ;\left ( { P_{ 2 } } \right ):y=2x ^ { 2 } ;\left ( { P_{ 3 } } \right ):y=kx ^ { 2 } $ với k 2. Gọi P là điểm bất kỳ thuộc parabol $ (P_{ 2 } ) $ và $ S_{ 1 } { \rm{ , } }S_{ 2 } $ là diện tích các miền phẳng $ (H_{ 1 } { \rm{ ),( } }H_{ 2 } ) $ (các miền được gạch chéo trong hình vẽ). Nếu $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $ thì giá trị của $ k=\frac { a } { b } $ với $ a,b\in \mathbb{N} $ và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ a+b $.

Gọi $ P\left ( { x_{ o } ;y_{ o } } \right )⇒y_{ o } =2x_{ o } ^{ 2 } $ + Hình phẳng $ \left ( { H_{ 1 } } \right ) $ giới hạn bởi: $ x=0;x=x_{ o } ;\left ( { P_{ 1 } } \right ):y=x ^ { 2 } ;\left ( { P_{ 2 } } \right ):y=2x ^ { 2 } $ $ ⇒ $diện tích hình phẳng $ \left ( { H_{ 1 } } \right ) $ là: + Hình phẳng $ \left ( { H_{ 2 } } \right ) $ giới hạn bởi: $ y=0;y=2x_{ o } ^{ 2 };\left ( { P_{ 2 } } \right ):y=2x ^ { 2 } ;\left ( { P_{ 3 } } \right ):y=kx ^ { 2 } $ $ ⇒ $diện tích hình phẳng $ \left ( { H_{ 2 } } \right ) $ là: $ =\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 3 }-\frac { 2 } { 3\sqrt[] { k } } } \right )2\sqrt[] { 2 }x_{ o } ^{ 3 } $ +Theo giải thiết $ S_{ 1 } =S_{ 2 } ⇒\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 3 }-\frac { 2 } { 3\sqrt[] { k } } } \right )2\sqrt[] { 2 }x_{ o } ^{ 3 }=\frac { x_{ o } ^{ 3 } } { 3 }⇔4-\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { \sqrt[] { k } }=1⇔\sqrt[] { k }=\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 }⇔k=\frac { 32 } { 9 } $