(Sở Bắc Ninh 2025) Cho đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $: $ y=x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4 $. Đường thẳng$ d:y=2x-2 $ cắt đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ thành 2 miền có diện tích là $ S_{ 1 } $ và $ S_{ 2 } $ như hình vẽ

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $ d $và $ \left ( { C } \right ) $: $ x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4=2x-2⇔x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -5x+6=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-2 \\ x=3 \end{array} \right. $ Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị$ \left ( { C } \right ) $và đường thẳng $ d $ là: $ S=\int _{ -2 }^{ 3 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4-\left ( { 2x-2 } \right ) } \right |dx }=\int _{ -2 }^{ 3 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -5x+6 } \right |dx }=\frac { 253 } { 12 } $ b) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { d } \right ) $và $ \left ( { C } \right ) $: $ x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4=2x-2⇔x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -5x+6=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1⇒y=0 \\ x=-2⇒y=-6 \\ x=3⇒y=4 \end{array} \right. $ Vậy đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $cắt $ \left ( { C } \right ) $tại ba điểm phân biệt $ A\left ( { -2;-6 } \right );\ B\left ( { 1;0 } \right );\ C\left ( { 3;4 } \right ) $. c) Sai. Gọi $ \left ( { H } \right ) $ hình phẳng giới hạn bới đồ thị$ \left ( { C } \right ),Ox $và đường thẳng $ x=-1;x=2 $. Ta có: $ S_{ H } =\int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4 } \right |dx }=\frac { 97 } { 12 } $. d) Sai. Ta có: $ \frac { S_{ 1 } } { S_{ 2 } }=\frac { \int _{ -2 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4-\left ( { 2x-2 } \right ) } \right |dx } } { \int _{ 1 }^{ 3 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -3x+4-\left ( { 2x-2 } \right ) } \right |dx } }=\frac { \int _{ -2 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -5x+6 } \right |dx } } { \int _{ 1 }^{ 3 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -5x+6 } \right |dx } }=\frac { 189 } { 64 } $