Bài tự luận · Bài 22
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 22
(CTST11) Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$.
a) $\sin^{2}x+\cos\left( \frac{\pi}{3}-x \right)\cos\left( \frac{\pi}{3}+x \right)$
b) $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$.
a) $\sin^{2}x+\cos\left( \frac{\pi}{3}-x \right)\cos\left( \frac{\pi}{3}+x \right)$
b) $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\sin^{2}x+\cos\left( \frac{\pi}{3}-x \right)\cos\left( \frac{\pi}{3}+x \right)=\sin^{2}x+\frac{1}{2}\left( \cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3} \right)=\sin^{2}x+\frac{1}{2}\left( 1-2\sin^{2}x-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}.$
Vậy giá trị của biểu thức $\sin^{2}x+\cos\left( \frac{\pi}{3}-x \right)\cos\left( \frac{\pi}{3}+x \right)$
Không phụ thuộc vào giá trị của $x$
b) Ta có $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$
$=\frac{1}{2}\left[ \cos\frac{7\pi}{12}+\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right) \right]+\frac{1}{2}\left[ \cos\frac{7\pi}{12}+\cos\left( 2x+\frac{11\pi}{12} \right) \right]$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\left[ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right)+\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12}+\pi \right) \right]+\cos\frac{7\pi}{12} \\ =\frac{1}{2}\left[ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right)-\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right) \right]+\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{7\pi}{12}\end{array}$
Vậy giá trị của biểu thức $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$ không phụ thuộc vào giá trị của $x$.
Vậy giá trị của biểu thức $\sin^{2}x+\cos\left( \frac{\pi}{3}-x \right)\cos\left( \frac{\pi}{3}+x \right)$
Không phụ thuộc vào giá trị của $x$
b) Ta có $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$
$=\frac{1}{2}\left[ \cos\frac{7\pi}{12}+\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right) \right]+\frac{1}{2}\left[ \cos\frac{7\pi}{12}+\cos\left( 2x+\frac{11\pi}{12} \right) \right]$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\left[ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right)+\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12}+\pi \right) \right]+\cos\frac{7\pi}{12} \\ =\frac{1}{2}\left[ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right)-\cos\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right) \right]+\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{7\pi}{12}\end{array}$
Vậy giá trị của biểu thức $\cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos\left( x+\frac{\pi}{6} \right)\cos\left( x+\frac{3\pi}{4} \right)$ không phụ thuộc vào giá trị của $x$.