Bài tự luận · Bài 23
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 23
(CTST11) Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:
a) $\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos C=0$;
b) $\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\cos\frac{A}{2}$.
a) $\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos C=0$;
b) $\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\cos\frac{A}{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên $A+B+C=180^{\circ}$.
Suy ra $\frac{A+B+C}{2}=90^{\circ}$, hay $\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2}$.
a) $\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos C=\cos(A+B)+\cos C=\cos\left( 180^{\circ}-C \right)+\cos C$ $=-\cos C+\cos C=0$.
b) $\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\sin\left( \frac{B}{2}+\frac{C}{2} \right)=\sin\left( 90^{\circ}-\frac{A}{2} \right)=\cos\frac{A}{2}$.
Suy ra $\frac{A+B+C}{2}=90^{\circ}$, hay $\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2}$.
a) $\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos C=\cos(A+B)+\cos C=\cos\left( 180^{\circ}-C \right)+\cos C$ $=-\cos C+\cos C=0$.
b) $\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\sin\left( \frac{B}{2}+\frac{C}{2} \right)=\sin\left( 90^{\circ}-\frac{A}{2} \right)=\cos\frac{A}{2}$.