(CD12) Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.
Trong khoảng 70 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm $h(t)=-0,01t^3+1,1t^2-30t+250$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Tìm thời điểm $t$ ($0\leq t\leq70$) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=h(t)$ với $0\leq t\leq70$ (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).
c) Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với $0\leq t\leq70$. Xác định hàm số $v(t)$.
d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm là bao nhiêu? Tại thời điểm $t=25$ (giây) là bao nhiêu?
e) Tại thời điểm $t=25$ (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
Xem lời giải
Lời giải
a) Tại thời điểm $t\approx18,11$ giây thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và khoảng cách nhỏ nhất này xấp xỉ bằng $8,074$ km.
b) 1) Tập xác định: $D=[0;70]$.
2) Sự biến thiên
- Bảng biến thiên: $y'=-0,03t^2+2,2t-30$.
$y'=0\Leftrightarrow t=t_1=\frac{110-\sqrt{3100}}{3}\approx18,11$ hoặc $t=t_2=\frac{110+\sqrt{3100}}{3}\approx55,23$.
Với $h(t_1)\approx8,074$, $h(t_2)\approx263,778$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(0;t_1)$ và $(t_2;70)$, đồng biến trên khoảng $(t_1;t_2)$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $t=t_1,y_{\mathrm{CT}}\approx8,074$; hàm số đạt cực đại tại $t=t_2,y_{\mathrm{CĐ}}\approx263,778$.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;250)$.
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(10;50)$, $(70;110)$.
Vậy đồ thị hàm số $y=h(t)$ được cho ở Hình.
c) Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) được tính bởi:
$v(t)=h'(t)=-0,03t^2+2,2t-30$.
d) Lúc bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm là tại thời điểm $t=0$ (giây).
Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm là:
$v(0)=h'(0)=-30$ km/giây.
Vận tốc tức thời của con tàu tại thời điểm $t=25$ (giây) là:
$v(25)=h'(25)=6,25$ km/giây.
e) Ta có: $v'(t)=-0,06t+2,2$.
$v'(t)=0$ khi $t=\frac{110}{3}$. Bảng xét dấu của $v'(t)$ như sau:
Căn cứ vào bảng xét dấu $v'(t)$, ta có hàm số $v(t)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{110}{3}\right)$ nên tại thời điểm $t=25$ (giây) thì vận tốc tức thời của con tàu đang tăng.
