Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 27
Tính tổng $ S=\frac { C_{ n } ^{ 0 } } { C_{ n+2 } ^{ 1 } }+\frac { C_{ n } ^{ 1 } } { C_{ n+2 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+2 } ^{ 3 } }+\ldots +\frac { C_{ n } ^{ n } } { C_{ n+2 } ^{ n+1 } } $. Ta được $ S=\frac { n } { a }+\frac { 1 } { b };\,a,b\in \mathbb{N} $. Khi đó $ a+b $bằng.
Xem lời giải
Lời giải
Số hạng tổng quát trong $ S $là $ \frac { C_{ n } ^{ k } } { C_{ n+2 } ^{ k+1 } }=\frac { \left ( { n-k+1 } \right )\left ( { k+1 } \right ) } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\,\,\,\,\,\left ( { k=0,\,n } \right ) $
$ \to S=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { n-k+1 } \right )\left ( { k+1 } \right ) }=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { nk-k ^ { 2 } +n+1 } \right ) } $
Áp dụng
$ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { k=0+1+2+\ldots +n=\frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 } } $
$ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { k ^ { 2 } =0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +n ^ { 2 } =\frac { n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right ) } { 6 } } $
Ta được $ S=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left[ \frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 }-\frac { n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right ) } { 6 }+\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+1 } \right ) \right] } $
$ =\frac { n ^ { 2 } +5n+6 } { 6(n+2) }=\frac { n+3 } { 6 }=\frac { n } { 6 }+\frac { 1 } { 2 }\to a=6;\,b=2 $
Vậy $ a+b=8 $
$ \to S=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { n-k+1 } \right )\left ( { k+1 } \right ) }=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { nk-k ^ { 2 } +n+1 } \right ) } $
Áp dụng
$ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { k=0+1+2+\ldots +n=\frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 } } $
$ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { k ^ { 2 } =0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +n ^ { 2 } =\frac { n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right ) } { 6 } } $
Ta được $ S=\frac { 1 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left[ \frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 }-\frac { n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right ) } { 6 }+\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+1 } \right ) \right] } $
$ =\frac { n ^ { 2 } +5n+6 } { 6(n+2) }=\frac { n+3 } { 6 }=\frac { n } { 6 }+\frac { 1 } { 2 }\to a=6;\,b=2 $
Vậy $ a+b=8 $