Bài tự luận · Bài 36
Dạng 4. Ứng dụng
Bài tự luận Dãy số · Bài 36
(KNTT11) Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với $1,0\times 10^{9}$ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0\times 10^{8}$ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\%$.
a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.
b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.
a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.
b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $u_0=1,0\cdot 10^{9}$ là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và $u_n$ là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ $n$.
Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0\cdot 10^{8}$ vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\%$ nên ta có
$u_{n+1}=\left( u_n-4,0\cdot 10^{8} \right)+25\%.u_n=1,25u_n-4,0\cdot 10^{8}.$
b) Ta tính $u_5$ như sau:
$\begin{array}{l} u_1=1,0\cdot 10^{9}; \\ u_2=1,25u_1-4,0\cdot 10^{8}=8,5\cdot 10^{8} \\ u_3=1,25u_2-4,0\cdot 10^{8}=6,625\cdot 10^{8}; \\ u_4=1,25u_3-4,0\cdot 10^{8}=4,28125\cdot 10^{8}; \\ u_5=1,25u_4-4,0\cdot 10^{8}=1,3515625\cdot 10^{8}. \\ \end{array}$
Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135156250 con.
Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0\cdot 10^{8}$ vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\%$ nên ta có
$u_{n+1}=\left( u_n-4,0\cdot 10^{8} \right)+25\%.u_n=1,25u_n-4,0\cdot 10^{8}.$
b) Ta tính $u_5$ như sau:
$\begin{array}{l} u_1=1,0\cdot 10^{9}; \\ u_2=1,25u_1-4,0\cdot 10^{8}=8,5\cdot 10^{8} \\ u_3=1,25u_2-4,0\cdot 10^{8}=6,625\cdot 10^{8}; \\ u_4=1,25u_3-4,0\cdot 10^{8}=4,28125\cdot 10^{8}; \\ u_5=1,25u_4-4,0\cdot 10^{8}=1,3515625\cdot 10^{8}. \\ \end{array}$
Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135156250 con.