(Sở Hà Tĩnh 2025) Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $ A\left ( { 5;\,0;\,0 } \right ) $ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $ km $), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $ B $ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $ d_{ 1 } :\,\left \{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-2t \\ z=0 \end{array} \right. $. Tàu chở hàng $ C $ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $ d_{ 2 } :\,\left \{ \begin{array}{l} x=2-s \\ y=11+s \\ z=0 \end{array} \right. $. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $ B $ và $ C $ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $ A $ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $ B $ trước, sau đó đến tàu chở hàng $ C $. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $ B $ dừng lại và tàu chở hàng $ C $ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $ T=AB+BC+CA $ là nhỏ nhất. Khi đó $ P_{ \min } =\sqrt[] { a }\,\,\,\left ( { km } \right ) $, hãy tính $ a+2025 $?

Chúng ta cần tìm vị trí tối ưu của tàu du lịch $ B $ (tương ứng với điểm $ B $) và tàu chở hàng $ C $ (tương ứng với điểm $ C $) sao cho tổng quãng đường cứu hộ $ T=AB+BC+CA $là nhỏ nhất. Trong không gian, ta có: + Hai đường thẳng $ d_{ 1 } ,\,d_{ 2 } $ cùng nằm trong mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):\,z=0 $ và $ A\in \left ( { \alpha } \right ) $. + $ d_{ 1 } $ có một véc tơ chỉ phương $ u_{ 1 } =\left ( { 1;\,-2;\,0 } \right ) $; $ d_{ 2 } $ có một véc tơ chỉ phương $ u_{ 2 } =\left ( { -1;\,1;\,0 } \right ) $. Do $ \left[ u_{ 1 } ,\,u_{ 2 } \right]\neq 0 $ nên $ d_{ 1 } $ cắt $ d_{ 2 } $. + Gọi $ A_{ 1 } ,\,A_{ 2 } $ lần lượt là điểm đối xứng của $ A $ qua $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $. + Gọi $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng qua $ A $ và vuông góc với $ d_{ 1 } $ $ ⇒\,\,\left ( { P } \right ):x-2y-5=0 $. + Gọi $ I=\left ( { P } \right )∩d_{ 1 } $, thì tọa độ của $ I $ là nghiệm của hệ $ d_{ 1 } :\,\left \{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-2t \\ z=0 \\ x-2y-5=0 \end{array} \right. $$ ⇒I\left ( { 3;\,-1;\,0 } \right ) $$ ⇒A_{ 1 } \left ( { 1;\,-2;\,0 } \right ) $. + Gọi $ \left ( { Q } \right ) $là mặt phẳng qua $ A $ và vuông góc với $ d_{ 2 } $$ ⇒\,\left ( { Q } \right ):-x+y+5=0 $. + Gọi $ J=\left ( { Q } \right )∩d_{ 2 } $, thì tọa độ của $ J $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x=2-s \\ y=11+s \\ z=0 \\ -x+y+5=0 \end{array} \right. $$ ⇒J\left ( { 9;\,4;\,0 } \right ) $$ ⇒A_{ 2 } \left ( { 13;\,8;\,0 } \right ) $. + Khi đó $ T=AB+BC+CA=A_{ 1 } B+BC+CA_{ 2 } \geq A_{ 1 } A_{ 2 } $ $ ⇒\,T $ đạt GTNN khi $ T=A_{ 1 } A_{ 2 } $$ ⇒P_{ \min } =A_{ 1 } A_{ 2 } =\sqrt[] { 244 }\,\,\,\left ( { km } \right ) $. Vậy $ a+2025=2269 $ Dấu bằng xẩy ra khi $ B,\,C,\,A_{ 1 } ,\,A_{ 2 } $ thẳng hàng.