Bài tập nâng cao · Bài 47
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 47
$AB$ là một đoạn thẳng có độ dài 5 đơn vị trong hệ toạ độ $Oxy$. Toạ độ $x$ và $y$ của $A$ và $B$ là các số nguyên thoả mãn các bất đẳng thức $0\leq x\leq9$ và $0\leq y\leq9$. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng $AB$ thoả mãn?
Xem lời giải
Lời giải
Do $AB=5\Leftrightarrow(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=25$.
Vì tọa độ của $A,B$ đều nguyên nên $(x_A-x_B)^2$ và $(y_A-y_B)^2$ đều là số tự nhiên.
Do $25=0^2+5^2=5^2+0^2=3^2+4^2=4^2+3^2$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $|x_A-x_B|=0$ và $|y_A-y_B|=5$.
+ Với $x_A-x_B=0\Leftrightarrow x_A=x_B$, ta có 10 cách chọn số nguyên từ 0 tới 9 cho $x_A,x_B$.
+ Với $|y_A-y_B|=5$, hoặc $y_A=y_B+5$ (lúc này $0\leq y_B\leq4$ có 5 cách chọn cặp $y_B,y_A$) hoặc $y_B=y_A+5$ (lúc này $0\leq y_A\leq4$ có 5 cách chọn cặp $y_B,y_A$).
+ Vì đoạn thẳng $AB$ không có hướng nên hai cách gán đổi chỗ $A,B$ cho cùng một đoạn thẳng. Tổng cộng trường hợp 1 có $\dfrac{10(5+5)}2=50$ cách.
Trường hợp 2: $|x_A-x_B|=5$ và $|y_A-y_B|=0$. Làm tương tự như trường hợp 1 ta cũng có 50 cách ở trường hợp 2.
Trường hợp 3: $|x_A-x_B|=3$ và $|y_A-y_B|=4$.
+ Với $|x_A-x_B|=3$, hoặc $x_A=x_B+3$ (lúc này $0\leq x_B\leq6$ có 7 cách chọn cặp $x_A,x_B$) hoặc $x_B=x_A+3$ (lúc này $0\leq x_A\leq6$ có 7 cách chọn cặp $x_B,x_A$).
+ Với $|y_A-y_B|=4$, hoặc $y_A=y_B+4$ (lúc này $0\leq y_B\leq5$ có 6 cách chọn cặp $y_B,y_A$) hoặc $y_B=y_A+4$ (lúc này $0\leq y_A\leq5$ có 6 cách chọn cặp $y_B,y_A$).
+ Chia đôi để không đếm lặp hai đầu mút $A,B$, tổng cộng trường hợp 3 có $\dfrac{(7+7)(6+6)}2=84$ cách.
Trường hợp 4: $|x_A-x_B|=4$ và $|y_A-y_B|=3$. Làm tương tự như trường hợp 3 cũng có 84 cách.
Vậy có: $2(50+84)=268$ đoạn thẳng.
Vì tọa độ của $A,B$ đều nguyên nên $(x_A-x_B)^2$ và $(y_A-y_B)^2$ đều là số tự nhiên.
Do $25=0^2+5^2=5^2+0^2=3^2+4^2=4^2+3^2$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $|x_A-x_B|=0$ và $|y_A-y_B|=5$.
+ Với $x_A-x_B=0\Leftrightarrow x_A=x_B$, ta có 10 cách chọn số nguyên từ 0 tới 9 cho $x_A,x_B$.
+ Với $|y_A-y_B|=5$, hoặc $y_A=y_B+5$ (lúc này $0\leq y_B\leq4$ có 5 cách chọn cặp $y_B,y_A$) hoặc $y_B=y_A+5$ (lúc này $0\leq y_A\leq4$ có 5 cách chọn cặp $y_B,y_A$).
+ Vì đoạn thẳng $AB$ không có hướng nên hai cách gán đổi chỗ $A,B$ cho cùng một đoạn thẳng. Tổng cộng trường hợp 1 có $\dfrac{10(5+5)}2=50$ cách.
Trường hợp 2: $|x_A-x_B|=5$ và $|y_A-y_B|=0$. Làm tương tự như trường hợp 1 ta cũng có 50 cách ở trường hợp 2.
Trường hợp 3: $|x_A-x_B|=3$ và $|y_A-y_B|=4$.
+ Với $|x_A-x_B|=3$, hoặc $x_A=x_B+3$ (lúc này $0\leq x_B\leq6$ có 7 cách chọn cặp $x_A,x_B$) hoặc $x_B=x_A+3$ (lúc này $0\leq x_A\leq6$ có 7 cách chọn cặp $x_B,x_A$).
+ Với $|y_A-y_B|=4$, hoặc $y_A=y_B+4$ (lúc này $0\leq y_B\leq5$ có 6 cách chọn cặp $y_B,y_A$) hoặc $y_B=y_A+4$ (lúc này $0\leq y_A\leq5$ có 6 cách chọn cặp $y_B,y_A$).
+ Chia đôi để không đếm lặp hai đầu mút $A,B$, tổng cộng trường hợp 3 có $\dfrac{(7+7)(6+6)}2=84$ cách.
Trường hợp 4: $|x_A-x_B|=4$ và $|y_A-y_B|=3$. Làm tương tự như trường hợp 3 cũng có 84 cách.
Vậy có: $2(50+84)=268$ đoạn thẳng.