Bài tập nâng cao · Bài 48
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 48
Từ $X=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên chia 3 dư 2 và có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Ta xét ba tập hợp: $A=\{0;3;6\}$, $B=\{1;4;7\}$, $C=\{2;5\}$.
Theo giả thiết $\overline{a_1a_2a_3a_4}\equiv2\pmod3\Leftrightarrow a_1+a_2+a_3+a_4\equiv2\pmod3$. Ta xét các trường hợp sau:
+) TH1: Lấy 3 chữ số trong $A$ và 1 chữ số trong $C$ có: $2(4!-3!)=36$ (số).
+) TH2: Lấy 2 chữ số trong $A$ và 2 chữ số trong $B$ có: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot4!-C_2^1\cdot C_3^2\cdot3!=180$ (số).
+) TH3: Lấy 1 chữ số trong $A$, 1 chữ số trong $B$ và 2 chữ số trong $C$ có:
$C_3^1\cdot C_3^1\cdot4!-C_3^1\cdot3!=198$ (số).
+) TH4: Lấy 3 chữ số trong $B$ và 1 chữ số trong $C$ có: $C_2^1\cdot4!=48$ (số).
Vậy có: $36+180+198+48=462$ (số).
Theo giả thiết $\overline{a_1a_2a_3a_4}\equiv2\pmod3\Leftrightarrow a_1+a_2+a_3+a_4\equiv2\pmod3$. Ta xét các trường hợp sau:
+) TH1: Lấy 3 chữ số trong $A$ và 1 chữ số trong $C$ có: $2(4!-3!)=36$ (số).
+) TH2: Lấy 2 chữ số trong $A$ và 2 chữ số trong $B$ có: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot4!-C_2^1\cdot C_3^2\cdot3!=180$ (số).
+) TH3: Lấy 1 chữ số trong $A$, 1 chữ số trong $B$ và 2 chữ số trong $C$ có:
$C_3^1\cdot C_3^1\cdot4!-C_3^1\cdot3!=198$ (số).
+) TH4: Lấy 3 chữ số trong $B$ và 1 chữ số trong $C$ có: $C_2^1\cdot4!=48$ (số).
Vậy có: $36+180+198+48=462$ (số).