Hình vẽ bên là một lưới ô vuông có kích thước $3\times2$ gồm $12$ nút lưới. Từ $12$ nút lưới có thể chọn ra $3$ nút làm ba đỉnh của một tam giác vuông. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh lấy từ $12$ nút lưới đã cho?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ trong các trường hợp sau: +) TH1: $\Delta ABC$ có $AB,\,AC$ là cạnh của hình vuông, hình chữ nhật tạo bởi $4$ nút lưới. .) Từ $12$ nút lưới ta có $18$ hình vuông, hình chữ nhật. .) Mỗi hình vuông, hình chữ nhật tạo thành $4\Delta ABC$ vuông. Vậy có $18.4=72$ tam giác $ABC$ vuông. [IMAGE:question_images/12-CD24. TO HOP 10/F. BAI TAP NANG CAO/image732.png] +) TH2: $\Delta ABC$ có $AB,\,AC$ là đường chéo của hình vuông, hình chữ nhật tạo bởi $4$ nút lưới. [IMAGE:question_images/12-CD24. TO HOP 10/F. BAI TAP NANG CAO/image733.png] Giả sử độ dài cạnh hình vuông nhỏ là 1. .) Độ dài có thể có của $AB,\,AC$ là $\sqrt{2},\,\sqrt{5},\,\sqrt{8};\,\sqrt{10};\,\sqrt{13}$. .) Độ dài có thể có của $BC$ là $2,\,3,\,\sqrt{5},\,\sqrt{8};\,\sqrt{10};\,\sqrt{13}$. Mà ta có $AB^{2} +\,AC^{2} =BC^{2}$ nên có các bộ $\left( AB;\,AC;BC \right)$ là: $\left( \sqrt{2};\,\sqrt{2};2 \right)$,$\left( \sqrt{5};\,\sqrt{8};\sqrt{13} \right)$, $\left( \sqrt{5};\,\sqrt{5};\sqrt{10} \right)$, $\left( \sqrt{2};\,\sqrt{8};\sqrt{10} \right)$. . Xét $\left( \sqrt{2};\,\sqrt{2};2 \right)$ có các $4.2+6=14$ tam giác. [IMAGE:question_images/12-CD24. TO HOP 10/F. BAI TAP NANG CAO/image744.png] . Xét $\left( \sqrt{5};\,\sqrt{8};\sqrt{13} \right)$ không có tam giác thỏa mãn. . Xét $\left( \sqrt{5};\,\sqrt{5};\sqrt{10} \right)$ có các 4 tam giác. [IMAGE:question_images/12-CD24. TO HOP 10/F. BAI TAP NANG CAO/image745.png] . Xét $\left( \sqrt{2};\,\sqrt{8};\sqrt{10} \right)$ có các 4 tam giác. [IMAGE:question_images/12-CD24. TO HOP 10/F. BAI TAP NANG CAO/image746.png] Suy ra trường hợp này có $14+4+4=22$ tam giác. Vậy có $72+22=94$ tam giác thỏa mãn bài toán.

Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 40