Bài tập nâng cao · Bài 21
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 21
Cho tập hợp $X=\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right\}$. Lập từ $X$ số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số vừa lập. Xác suất để số chọn được chia hết cho $1111$ là
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( { \Omega } \right)=8!$.
Gọi $B$: “ Số chọn được chia hết cho $1111$ ”.
Ký hiệu số được chọn là $A=a_{1} a_{2} \ldots a_{8} =a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}.10000+a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} =9999a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +\left( { a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} } \right)$.
Vì $a_{1} +a_{2} +\ldots+a_{8} =1+2+\ldots+8=45\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9$. Mà $A\vdots 1111$ nên $A\vdots 9999$.
Suy ra $\left( { a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} } \right)\vdots 9999$. Do $2000 < a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} < 18000$ nên $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} =9999$.
Do đó $a_{1} +a_{5} =a_{2} +a_{6} =a_{3} +a_{7} =a_{4} +a_{8} =9$.
Các bộ có tổng bằng $9$ là $\left( { 1;8 } \right),{ \rm{ } }\left( { 2;7 } \right),{ \rm{ } }\left( { 3;6 } \right),{ \rm{ } }\left( { 4;5 } \right)$.
Suy ra số phần tử của biến cố $B$ là $n\left( { B } \right)=\left( { C_{2} ^{1} } \right) ^{4}.4!=384$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left( { B } \right)=\frac{384}{8!}$.
Gọi $B$: “ Số chọn được chia hết cho $1111$ ”.
Ký hiệu số được chọn là $A=a_{1} a_{2} \ldots a_{8} =a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}.10000+a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} =9999a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +\left( { a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} } \right)$.
Vì $a_{1} +a_{2} +\ldots+a_{8} =1+2+\ldots+8=45\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9$. Mà $A\vdots 1111$ nên $A\vdots 9999$.
Suy ra $\left( { a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} } \right)\vdots 9999$. Do $2000 < a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} < 18000$ nên $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} +a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} =9999$.
Do đó $a_{1} +a_{5} =a_{2} +a_{6} =a_{3} +a_{7} =a_{4} +a_{8} =9$.
Các bộ có tổng bằng $9$ là $\left( { 1;8 } \right),{ \rm{ } }\left( { 2;7 } \right),{ \rm{ } }\left( { 3;6 } \right),{ \rm{ } }\left( { 4;5 } \right)$.
Suy ra số phần tử của biến cố $B$ là $n\left( { B } \right)=\left( { C_{2} ^{1} } \right) ^{4}.4!=384$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left( { B } \right)=\frac{384}{8!}$.