Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí $ A $ cao $ 15 $m của tháp 1 này sang vị trí $ B $ cao $ 10 $m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục toạ độ $ Oxyz $ cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của $ A $ và $ B $ lần lượt là $ \left ( { 4\,;\,2\,;\,15 } \right ) $ và $ B\left ( { 19\,;\,22\,;\,10 } \right ) $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Đường thẳng chứa đường trượt zipline có một véctơ chỉ phương $ \oversetightarrow { u }=\left ( { 3\,;\,4\,;\,-1 } ight ) $. Đúng. b. Phương trình tham số của đường thẳng chứa đường trượt zipline là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=4+3t \ y=2+4t \ x=15-t \end{array} ight.\,\,\left ( { t\in \mathbb{R} } ight ) $. Sai. c. Biết toạ độ của du khách khi ở độ cao $ 12 $ mét là $ C\left ( { a\,;\,b\,;\,c } ight ) $. Khi đó giá trị $ a+b+c=40 $. Sai. d. Người hướng dẫn viên đứng ở vị trí điểm $ M\left ( { 10\,;\,7\,;\,1 } ight ) $ để quan sát di chuyển của một du khách đang đu theo đường trượt zipline. Khoảng cách ngắn nhất của người hướng dẫn viên đến du khách bằng $ 12 $ (m). Sai. Lời giải: a) Đúng. Ta có $ \oversetightarrow { AB }=\left ( { 15\,;\,20\,;\,-5 } ight )=5\left ( { 3\,;\,4\,;\,-1 } ight ) $. Suy ra đường thẳng chứa đường trượt zipline có một véctơ chỉ phương là $ \oversetightarrow { u }=\left ( { 3\,;\,4\,;\,-1 } ight ) $. b) Đúng. Đường thẳng chứa đường trượt zipline đi qua điểm $ \left ( { 4\,;\,2\,;\,15 } ight ) $ và có véctơ chỉ phương $ \oversetightarrow { u }=\left ( { 3\,;\,4\,;\,-1 } ight ) $. Phương trình tham số của đường thẳng chứa đường trượt zipline là $ \left \{ \begin{array}{l} x=4+3t \ y=2+4t \ z=15-t \end{array} ight.\,\,\,\,\left ( { t\in \mathbb{R} } ight ) $. c) Sai. Điểm $ C $ nằm trên đường trượt zipline nên ta có toạ độ điểm $ C\left ( { 4+3t\,;\,2+4t\,;\,15-t } ight ) $. Theo bài ra $ z_{ c } =12⇒15-t=12⇒t=3 $. Suy ra $ C\left ( { 13\,;\,14\,;\,12 } ight ) $. Vậy giá trị $ a+b+c=39 $ d) Sai. Giả sử du khách đang ở vị trí điểm $ H $ trên đường trượt zipline. khi đó toạ độ điểm $ H\left ( { 4+3t\,;\,2+4t\,;\,15-t } ight ) $ Ta có $ \oversetightarrow { MH }=\left ( { 3t-6\,;\,4t-5\,;\,14-t } ight ) $. Khoảng cách từ hướng dẫn viên đến du khách ngắn nhất khi và chỉ khi $ H $ là hình chiếu của $ M $ trên đường trượt zipline, suy ra $ \oversetightarrow { MH }⊥\oversetightarrow { u } $ nên ta có $ \oversetightarrow { MH }.\oversetightarrow { u }=0⇔3.\left ( { 3t-6 } ight )+4.\left ( { 4t-5 } ight )+\left ( { -1 } ight ).\left ( { 14-t } ight )=0⇔26t-52=0⇔t=2 $. Suy ra $ \oversetightarrow { MH }=\left ( { 0\,;\,3\,;\,12 } ight )⇒MH=\sqrt[] { 0 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +12 ^ { 2 } }=3\sqrt[] { 7 } $. Vậy khoảng cách ngắn nhất của người hướng dẫn viên đến du khách bằng $ 3\sqrt[] { 7 } $ (m).

Cùng dạng: Lập phương trình mặt phẳng theo điều kiện cho trước (qua 3 điểm, qua điểm và vtpt, chứa đường thẳng)