Trong không gian hệ trục tọa độ $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục là km), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $ 10\sqrt[] { 429 }\,km $. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $ 800\, $km/h theo đường thẳng $ d $ có phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x=-500+100t \\ y=-200+50t \\ z=20 \end{array} \right.\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Sai. Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $ 10\sqrt[] { 429 }\,km $ nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có đường kính bằng $ 2.10\sqrt[] { 429 }\,=20\sqrt[] { 429 } $km. b) Đúng. Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm $ O\left ( { 0\,;\,0\,;\,0 } \right ) $ có bán kính bằng $ 10\sqrt[] { 429 }\, $ có phương trình là: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =42900 $ c) Đúng. Tại vị trí điểm $ M\left ( { -300\,;\,-100\,;\,20 } \right ) $ Ta có: $ \overset\rightarrow { OM }=\left ( { -300\,;\,-100\,;\,20 } \right ) $ $ ⇒OM=\sqrt[] { \left ( { -300 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -100 } \right ) ^ { 2 } +20 ^ { 2 } }=20\sqrt[] { 251 }>10\sqrt[] { 429 }=R. $ Vậy, tại vị trí điểm $ M\left ( { -300\,;\,-100\,;\,20 } \right ) $ máy bay nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay. d) Sai. Thay $ d:\,\left \{ \begin{array}{l} x=-500+100t \\ y=-200+50t \\ z=20 \end{array} \right.\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $ vào phương trình mặt cầu: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =42900 $ Ta có: $ \left ( { 100t-500 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 50t-200 } \right ) ^ { 2 } +20 ^ { 2 } =42900 $ $ ⇔12500t ^ { 2 } -120000t+247500=0⇔\left[ t=3⇒B\left ( { -200\,;\,-50\,;\,20 } \right ) \\ t=\frac { 33 } { 5 }⇒C\left ( { 160\,;\,130\,;\,20 } \right ) \right. $ Ta có: $ \overset\rightarrow { BC }=\left ( { 360;180;0 } \right ) $ Quãng đường máy bay di chuyển trong vùng kiểm soát không lưu là: $ BC=\sqrt[] { 360 ^ { 2 } +180 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=180\sqrt[] { 5 }≈402,5 $km. Vậy thời gian máy bay di chuyển theo đường thẳng $ d $ và trong phạm vi kiểm soát không lưu của sân bay là:$ \frac { 402,5 } { 800 }=\frac { 161 } { 320 } $ giờ.