Đúng/Sai · Câu 15
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\,\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =16 $ và điểm $ A\left ( { -1;-1;-1 } \right ). $ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Lời giải
a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;3;-1)$ và bán kính $R=4$. Mệnh đề a) Đúng.
b) Với $I(2;3;-1)$ và $A(-1;-1;-1)$, ta có $\vec{IA} = (-3; -4; 0)$.
Phương trình đường thẳng $IA$ đi qua $I(2;3;-1)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-3; -4; 0)$ là:
$$
\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 3 - 4t \\ z = -1 \end{cases}
$$
Vậy mệnh đề b) Sai.
c) Ta có $\vec{IB} = (0;0;4)$.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại $B(2;3;3)$ nhận $\vec{IB}$ làm vectơ pháp tuyến:
$$
0(x-2) + 0(y-3) + 4(z-3) = 0 \Leftrightarrow z-3=0 \Leftrightarrow z=3
$$
Vậy mệnh đề c) Đúng.
d) $M$ thuộc $(S)$ sao cho $AM$ tiếp xúc với $(S)$, khi đó $\triangle AIM$ vuông tại $M$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $IA$, khi đó $M$ thuộc mặt phẳng vuông góc với $IA$ tại $H$.
Ta có $IH = \frac{IM^{2}}{IA} = \frac{R^{2}}{IA}$.
Với $IA = \sqrt{(-3)^{2} + (-4)^{2} + 0^{2}} = 5$, ta có $IH = \frac{16}{5}$.
Ta có $\vec{IH} = \frac{IH}{IA} \cdot \vec{IA} = \frac{16/5}{5} \cdot (-3; -4; 0) = \frac{16}{25} \cdot (-3; -4; 0) = \left(-\frac{48}{25}; -\frac{64}{25}; 0\right)$.
Suy ra $H = I + \vec{IH} = (2 - \frac{48}{25}; 3 - \frac{64}{25}; -1) = (\frac{2}{25}; \frac{11}{25}; -1)$.
Mặt phẳng đi qua $H$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{IA} = (-3; -4; 0)$ là:
$$
-3\left(x - \frac{2}{25}\right) - 4\left(y - \frac{11}{25}\right) + 0(z+1) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + \frac{6}{25} + \frac{44}{25} = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2 = 0
$$
Vậy mệnh đề d) Đúng.