Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho $ M\left ( { 1;-3;4 } \right ) $, đường thẳng $ d:\frac { x } { 1 }=\frac { y } { -1 }=\frac { z-1 } { 2 } $ và mặt phẳng $ (P):x+2y-2z+2=0 $.

a)Thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta có: $ d:\frac { 1 } { 1 }=\frac { -3 } { -1 }=\frac { 3 } { 2 } $( không thỏa mãn). Vậy $ M∉d $ nên a sai. b)Đường thẳng $ Δ $ vuông góc với $ \left ( { P } \right ) $ nên $ Δ $ có VTCP là $ \overset\rightarrow { u }_{ _{ Δ } } =\overset\rightarrow { n }_{ _{ P } } =\left ( { 1;2;-2 } \right ) $ $ Δ $ đi qua $ M $ nên phương trình tham số của $ Δ $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-3+2t \\ z=4-2t \end{array} \right. $ suy ra b) sai c)Đường thẳng $ d $ có VTCP $ \overset\rightarrow { u }_{ _{ d } } =\left ( { 1;-1;2 } \right ) $, $ \left ( { P } \right ) $ có VTPT là $ \overset\rightarrow { n }_{ _{ P } } =\left ( { 1;2;-2 } \right ) $ $ ⇒\overset\rightarrow { u }_{ _{ d } } .\overset\rightarrow { n }_{ _{ P } } =1-2-4=-5\neq 0 $ nên d cắt $ \left ( { P } \right ) $ suy ra c) sai d) Gọi $ d' $ là hình chiếu của $ d $ lên $ \left ( { P } \right ) $; Tọa độ $ A=d∩\left ( { P } \right ) $ thỏa $ \left \{ \begin{array}{l} x+2y-2z+2=0 \\ \frac { x } { 1 }=\frac { y } { -1 }=\frac { z-1 } { 2 }=\frac { x+2y-2z+2 } { 1-2-4 }=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \\ z=1 \end{array} \right.⇒A\left ( { 0;0;1 } \right ) $. Gọi $ \left ( { Q } \right ) $ là mặt phẳng chứa $ d $ và vuông góc với $ \left ( { P } \right ) $ Đường thẳng $ d $ có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 1;-1;2 } \right ). $ Mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ p } }=(1;2;-2) $. Suy ra $ \left ( { Q } \right ) $ có VTPT là $ \overset\rightarrow { n_{ Q } }=\left[ \overset\rightarrow { u_{ d } },\overset\rightarrow { n_{ P } } \right]=(-2;4;3) $. Khi đó do $ d'=\left ( { P } \right )∩\left ( { Q } \right ) $ nên $ \overset\rightarrow { u_{ d' } }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ P } },\overset\rightarrow { n_{ Q } } \right]=(14;1;8) $ là vectơ chỉ phương của $ (d') $. Đường thẳng $ d' $ đi qua $ A\left ( { 0;0;1 } \right ) $ và có VTCP là $ \overset\rightarrow { u_{ d' } }=\left ( { 14;1;8 } \right ) $ có phương trình chính tắc là $ d':\frac { x } { 14 }=\frac { y } { 1 }=\frac { z-1 } { 8 }. $ Vậy d) đúng.