Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ A\left ( { 0;\,-3;\,2 } \right ) $, $ B\left ( { 1;-2;3 } \right ) $và đường thẳng $ Δ $: $ \frac { x-2 } { 1 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z-2 } { 1 } $

a) Đúng. Phương trình đường thẳng $ AB $ nhận $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { 1;\,1;\,1 } \right ) $làm vtcp:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=t \\ y=-3+t \\ z=2+t \\ \end{array} \end{array} \right.,t\in \mathbb{R} $. b) Đúng. Đường thẳng $ AB $có vtpt $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { 1;\,1;\,1 } \right ) $ Đường thẳng $ Δ $: $ \frac { x-2 } { 1 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z-2 } { 1 } $ có vtcp $ \overset\rightarrow { u }\left ( { 1;1;1 } \right ) $ Và $ A\left ( { 0;-3;2 } \right )∉Δ $ nên $ AB//Δ $. c) Sai. Đường thẳng $ Δ $: $ \frac { x-2 } { 1 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z-2 } { 1 } $ đi qua điểm $ M\left ( { 2\,;\,-1\,;\,2 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left ( { 1\,;\,1\,;\,1 } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { 2\,;\,2\,;\,0 } \right )⇒\left[ \overset\rightarrow { AM }\,,\,\overset\rightarrow { u_{ Δ } } \right]=\left ( { 2\,;\,-2\,;\,0 } \right ) $. Khi đó $ d\left ( { A\,,\,Δ } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { AM }\,,\,\overset\rightarrow { u_{ Δ } } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u_{ Δ } } } \right | }=\frac { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 2\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. d) Đúng. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ O $ trên đường thẳng $ Δ $, khi đó $ H\left ( { 2+t\,;\,-1+t\,;\,2+t } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { OH }=\left ( { 2+t\,;\,-1+t\,;\,2+t } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left ( { 1\,;\,1\,;\,1 } \right ) $. Vì $ OH⊥Δ $ nên $ \overset\rightarrow { OH }.\overset\rightarrow { u_{ Δ } }=0⇔2+t-1+t+2+t=0⇔t=-1 $. Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $ O\left ( { 0;\,0;\,0 } \right ) $ lên đường thẳng $ Δ $ là $ H\left ( { 1;-2;1 } \right ) $.