Trong không gian $ Oxyz $(đơn vị của các trục tọa độ là ki – lô - mét), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $ \left ( { -64;128;64 } \right ) $. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không quá 500 km thì sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay $ N $ xuất hiện trên màn hình ra đa và một máy bay $ M $nằm trong mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-2y+2z-1458=0 $ sao cho hai máy bay $ M,N $ thuộc đường thẳng có vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;1;1 } \right ) $. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai máy bay $ M,N $ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Máy bay $ N $ xuất hiện trên màn hình ra đa nên $ N $ thuộc khối cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { -64;128;64 } \right ) $, bán kính $ R=500 $. Ta có $ { \rm{ d } }\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { x_{ I } -2y_{ I } +2z_{ I } -1458 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=550>R $ nên $ \left ( { P } \right ) $ và $ \left ( { S } \right ) $ không giao nhau. Gọi $ \alpha $ là góc tạo bởi $ MN $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ N $ lên mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Mặt khác $ \overset\rightarrow { MN } $ cùng phương với véc-tơ $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;1;1 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { n_{ P } }=\left ( { 1;-2;2 } \right ) $ suy ra $ \sin\alpha =\frac { \left | { \overset\rightarrow { u }⋅\overset\rightarrow { n_{ P } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right |⋅\left | { \overset\rightarrow { n_{ P } } } \right | }=\frac { 1 } { 3\sqrt[] { 3 } } $. $ MN=\frac { NH } { \sin\alpha }\geq \frac { NH_{ \min } } { \sin\alpha }=\frac { { \rm{ d } }\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )-R } { \sin\alpha }=\frac { 550-500 } { \frac { 1 } { 3\sqrt[] { 3 } } }=150\sqrt[] { 3 }≈260 $.