Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right ) ^ { 2 } =9 $, mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):2x+2y-z+24=0 $. Điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ thuộc mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ sao cho khoảng cách từ $ M $ đến $ \left ( { P } \right ) $ nhỏ nhất. Khi đó $ a+b+c $ có giá trị bằng

Lời giải Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 3$. Khoảng cách $d(I, (P)) = \frac{|2(1) + 2(2) - 3 + 24|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2 + 4 - 3 + 24|}{\sqrt{9}} = \frac{27}{3} = 9 > R$. Mặt phẳng $(P)$ và $(S)$ không có điểm chung. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 2; -1)$: $$ d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} $$ Điểm $M$ là giao điểm của $d$ và $(S)$: $$ (1 + 2t - 1)^{2} + (2 + 2t - 2)^{2} + (3 - t - 3)^{2} = 9 $$ $$ 4t^{2} + 4t^{2} + t^{2} = 9 \Leftrightarrow 9t^{2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1 $$ Với $t = 1 \Rightarrow M_{1}(3; 4; 2)$. Với $t = -1 \Rightarrow M_{2}(-1; 0; 4)$. Kiểm tra khoảng cách, điểm $M_{2}(-1; 0; 4)$ cho khoảng cách nhỏ nhất đến $(P)$. Vậy $a + b + c = -1 + 0 + 4 = 3$.