Phòng khách nhà bác Việt có dạng là một hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $ với $ AB=6\ m $,$ BC=7\ m $, $ AA'=3\ m $. Để chuẩn bị đón Tết Nguyên Đán bác lên kế hoạch trang trí cho phần không gian của phòng khách bằng các dây đèn trang trí $ NC,\ BM,\ EF $ được mắc như hình vẽ sau: Biết rằng $ EF $song song với $ AC $ và $ BN=2m;\ DM=1m $. Giá mỗi mét dây đèn trang trí là $ 70000 $ đồng. Hỏi số tiền bác Việt cần dùng để mua dây đèn trang trí là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải Ta có: $$ \begin{cases} BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} = 6^{2} + 7^{2} = 85 \\ BM = \sqrt{BD^{2} + DM^{2}} = \sqrt{85 + 1^{2}} = \sqrt{86} \\ CN = \sqrt{BN^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2^{2} + 7^{2}} = \sqrt{53} \end{cases} $$ Gắn hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ với $O \equiv B'$ như hình vẽ. Ta có $A(0; 6; 3), C(7; 0; 3), B(0; 0; 3), M(7; 6; 2), N(0; 0; 1)$ và $\vec{AC} = (7; -6; 0)$. Phương trình đường thẳng $BM$ qua $B(0; 0; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{BM} = (7; 6; -1)$ là: $$ \begin{cases} x = 7t \\ y = 6t \\ z = 3 - t \end{cases} $$ Phương trình đường thẳng $CN$ qua $N(0; 0; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{NC} = (7; 0; 2)$ là: $$ \begin{cases} x = 7t' \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t' \end{cases} $$ Vì $E \in BM, F \in CN$ nên $E(7t; 6t; 3-t)$ và $F(7t'; 0; 1+2t')$. $$ \vec{EF} = (7t' - 7t; -6t; 2t' + t - 2) $$ Vì $EF \parallel AC$ nên $\vec{EF} = k\vec{AC} \Leftrightarrow (7t' - 7t; -6t; 2t' + t - 2) = k(7; -6; 0)$. $$ \begin{cases} 7t' - 7t = 7k \\ -6t = -6k \\ 2t' + t - 2 = 0 \end{cases} $$ Giải hệ ta được: $$ \begin{cases} t' = \frac{4}{5} \\ t = \frac{2}{5} \\ k = \frac{2}{5} \end{cases} $$ $$ \vec{EF} = \left(\frac{14}{5}; \frac{-12}{5}; 0\right) \Rightarrow EF = \sqrt{\left(\frac{14}{5}\right)^{2} + \left(\frac{-12}{5}\right)^{2} + 0^{2}} = \frac{2\sqrt{85}}{5} $$ Vậy số tiền (triệu đồng) bác Việt cần dùng để mua dây đèn trang trí là: $$ (NC + BM + EF) \cdot 0,07 = \left(\sqrt{53} + \sqrt{86} + \frac{2\sqrt{85}}{5}\right) \cdot 0,07 \approx 1,42 \text{ (triệu đồng)} $$