Đúng/Sai · Câu 13
Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ A\left ( { 0;\,-3;\,2 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):\,2x-y+3z+5=0 $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
a) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng cần tìm.
Vì $(Q) \parallel (P)$ nên $(Q): 2x - y + 3z + m = 0 \quad (m \neq 5)$.
Mặt phẳng $(Q)$ qua $A(0; -3; 2)$ nên $2(0) - (-3) + 3(2) + m = 0 \Leftrightarrow 3 + 6 + m = 0 \Leftrightarrow m = -9$ (thỏa mãn).
Vậy $(Q): 2x - y + 3z - 9 = 0$.
b) $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{1} = (2; -1; 3)$. $(R)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{2} = (1; 2; -2)$.
Ta có $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2} = 2(1) + (-1)(2) + 3(-2) = 2 - 2 - 6 = -6 \neq 0$ nên $(P)$ không vuông góc với $(R)$.
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$$
d(A, (P)) = \frac{|2(0) - (-3) + 3(2) + 5|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 3^{2}}} = \frac{|3 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}
$$
d) Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 3)$:
$$
d: \begin{cases} x = 2t \\ y = -3 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases}
$$
Hình chiếu $H$ là giao của $d$ và $(P)$. Thế $x, y, z$ vào phương trình $(P): 2x - y + 3z + 5 = 0$:
$$
2(2t) - (-3 - t) + 3(2 + 3t) + 5 = 0 \Leftrightarrow 4t + 3 + t + 6 + 9t + 5 = 0 \Leftrightarrow 14t + 14 = 0 \Leftrightarrow t = -1
$$
Vậy $H(-2; -2; -1)$.