Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;-2;1 } \right ),B\left ( { 0;1;-3 } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-y-3=0 $.

a)Thay tọa độ điểm $ A $ vào phương trình $ \left ( { P } \right ) $ ta có: $ \left ( { P } \right ):1+2-3=0 $(đẳng thức đúng) Vậy điểm $ A $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ nên a) đúng. b) Ta có phương trình mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x-y-3=0 $ khuyết ẩn $ z $ nên $ \left ( { P } \right ) $ song song hoặc chứa trục $ Oz $. Mặt khác điểm $ O $ không thuộc $ \left ( { P } \right ) $ nên $ \left ( { P } \right ) $ song song với trục $ Oz $. Nên b) đúng c) $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -1;3;-4 } \right ) \\ \overset\rightarrow { n_{ P } }=\left ( { 1;-1;0 } \right ) \end{array} \right.⇒\overset\rightarrow { n_{ \alpha } }=\left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { n_{ P } } \right]=\left ( { -4;-4;-2 } \right )=-2\left ( { 2;2;1 } \right ) $ Mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ đi qua $ A\left ( { 1;-2;1 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { n_{ \alpha } } $ làm VTPT có phương trình $ 2x+2y+z+1=0 $ nên c) sai d) Ta có, $ \left ( { Q } \right ) $song song $ \left ( { P } \right ) $nên phương trình mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ):x-y+C=0 $; $ C\neq -3 $ Chọn $ M\left ( { 3;\,0\,;0\, } \right )\in \left ( { P } \right ) $ Ta có $ d\left ( { \left ( { P } \right )\,;\,\left ( { Q } \right ) } \right )=d\left ( { M\,;\,\left ( { Q } \right ) } \right )=\frac { \left | { 3+C } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } } }=2\sqrt[] { 2 } ⇔\left[ \begin{array}{l} C=1 \\ C=-7 \end{array} \right. $( thỏa mãn) $ C=1⇒\left ( { Q } \right ):x-y+1=0 $ khi đó $ \left ( { Q } \right ) $ cắt $ Ox $ tại điểm $ M_{ 1 } \left ( { -1\,;\,0\,;\,0 } \right ) $có hoành độ âm nên trường hợp này $ \left ( { Q } \right ) $ không thỏa đề bài. $ C=-7⇒\left ( { Q } \right ):x-y-7=0 $ khi đó $ \left ( { Q } \right ) $cắt $ Ox $ tại điểm $ M_{ 2 } \left ( { 7\,;\,0\,;\,0 } \right ) $có hoành độ dương do đó $ \left ( { Q } \right ):x-y-7=0 $ thỏa đề bài. Vậy phương trình mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ):x-y-7=0 $. d) sai