Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$, hai đáy $AB = 6$, $CD = 4$. Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABCD)$ và cắt cạnh $SA$ tại $M$ sao cho $SA = 3SM$. Diện tích của đa giác $(H)$ được tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Lời giải Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D, C$ trên $AB$. Vì $ABCD$ là hình thang cân nên: $$ \begin{cases} AH = BK \\ CD = HK \\ AH + HK + BK = AB \end{cases} \Rightarrow BK = 1 $$ Tam giác $BCK$ vuông tại $K$, có: $$ CK = \sqrt{BC^{2} - BK^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} $$ Suy ra diện tích hình thang $ABCD$ là: $$ S_{ABCD} = CK \cdot \frac{AB + CD}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{4 + 6}{2} = 5\sqrt{3} $$ Gọi $N, P, Q$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ và các cạnh $SB, SC, SD$. Vì $(P) \parallel (ABCD)$ nên theo định lí Thalès, ta có: $$ \frac{MN}{AB} = \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{AD} = \frac{1}{3} $$ Khi đó đa giác $(H)$ là $MNPQ$ có diện tích: $$ S_{MNPQ} = k^{2} \cdot S_{ABCD} = \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{9} \approx 0,96 $$