Bài tập nâng cao Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn · Bài 15
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính $x^2+y^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $0\leq x\leq 1,6$; $0\leq y\leq 1,1$.
Khi đó số protein có được là $800x+600y$ và số lipit có được là $200x+400y$.
Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: $800x+600y\geq 900\,\,và\,\,200x+400y\geq 400$.
$\Leftrightarrow 8x+6y\geq 9\,\,và\,\,x+2y\geq 2$ ta có hệ bất phương trình
$\begin{cases}0\leq x\leq 1,6\\0\leq y\leq 1,1\\8x+6y\geq 9\\x+2y\geq 2\end{cases}$.
Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm của tứ giác $ABCD$.
Chi phí để mua $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn là $T=160x+110y$.
Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Tại A: $T=160.0,6+110.0,7=173$.
Tại B: $T=160.1,6+110.0,2=278$.
Tại C: $T=160.1,6+110.1,1=377$.
Tại D: $T=160.0,3+110.1,1=169$.
Vậy T đạt GTNN khi $x=0,3\,\,;\,\,\,\,y=1,1$ $\Rightarrow x^2+y^2=0,3^2+1,1^2=1,3$.
