Bài tập nâng cao · Bài 19
Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \\ A+B+C=\pi \end{array} \right.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 19
a) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}.\cos\frac{B}{2}.\cos\frac{C}{2}$.
b) $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}$.
c) $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A.\sin B.\sin C$.
d) $\sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C=2\left( 1+\cos A.\cos B.\cos C \right)$.
e) $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A.\cos B.\cos C$.
f) $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B.\tan C$.
Xem lời giải
Lời giải
$\begin{array}{l} \sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} \\ =2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{C}{2} \\ =2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2} \right) \\ =4\cos\frac{A}{2}.\cos\frac{B}{2}.\cos\frac{C}{2} \end{array}$
b) Ta có:
$\begin{array}{l} \cos A+\cos B+\cos C=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2} \\ =2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} =2\sin\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2} \right)+1 \\ =1+4\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2} \end{array}$
c) Ta có:
$\begin{array}{l} \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=2\sin\left( A+B \right)\cos\left( A-B \right)+2\sin C\cos C \\ =2\sin C\cos\left( A-B \right)-2\sin C\cos\left( A+B \right) \\ =2\sin C\left[ \cos\left( A-B \right)-\cos\left( A+B \right) \right] \\ =4\sin A.\sin B.\sin C \end{array}$
d) Ta có:
$\sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+\sin^{2}C$
$\begin{array}{l} =1-\frac{1}{2}\left( \cos 2A+\cos 2B \right)+1-\cos^{2}C \\ =2-\cos\left( A+B \right)\cos\left( A-B \right)-\cos^{2}C \\ =2+\cos C\cos\left( A-B \right)-\cos^{2}C \\ =2+\cos C\left[ \cos\left( A-B \right)+\cos\left( A+B \right) \right] \\ =2+2\cos A.\cos B.\cos C \\ =2\left( 1+\cos A.\cos B.\cos C \right) \end{array}$
e) $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=$
$\begin{array}{l} =2\cos\left( A+B \right)\cos\left( A-B \right)+2\cos^{2}C-1 \\ =-2\cos C\cos\left( A-B \right)+2\cos^{2}C-1 \\ =-2\cos C\left[ \cos\left( A-B \right)-\cos C \right]-1 \\ =-2\cos C\left[ \cos\left( A-B \right)+\cos\left( A+B \right) \right]-1 \\ =-1-4\cos A.\cos B.\cos C \end{array}$
f) Cách 1:
$\begin{array}{l} \tan A+\tan B+\tan C=\frac{\sin\left( A+B \right)}{\cos A\cos B}+\tan C \\ =\frac{\sin C}{\cos A\cos B}+\tan C \\ =\tan C\left( \frac{\cos C}{\cos A\cos B}+1 \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} =\tan C\left( \frac{-\cos\left( A+B \right)+\cos A\cos B}{\cos A\cos B} \right) \\ =\tan C.\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B} \\ =\tan A.\tan B.\tan C \end{array}$
Cách 2:
$\begin{array}{l} \tan\left( A+B \right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \\ \Leftrightarrow -\tan C=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \\ \Leftrightarrow -\tan C+\tan C\tan A\tan B=\tan A+\tan B \\ \Leftrightarrow \tan C\tan A\tan B=\tan A+\tan B+\tan C \end{array}$