Tìm các góc của tam giác $ABC$, biết:
a) $B-C=\frac{\pi}{3}, \sin B.\sin C=\frac{1}{2}.$
b) $B+C=\frac{2\pi}{3}, \sin B.\cos C=\frac{1+\sqrt{3}}{4}.$

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Tìm các góc của tam giác $ABC$, biết: a) $B-C=\frac{\pi}{3}, \sin B.\sin C=\frac{1}{2}.$ b) $B+C=\frac{2\pi}{3}, \sin B.\cos C=\frac{1+\sqrt{3}}{4}.$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $0 < A,B,C < \pi$ và $A+B+C=\pi \Rightarrow B+C=\pi -A$. $\sin B.\sin C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ \cos(B-C)-\cos(B+C) ight]=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos\frac{\pi}{3}-\cos(\pi -A)=1$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\cos A=1\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{\pi}{3}$ (vì $0 < A,B,C < \pi$) $\Rightarrow B+C=\pi -\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l} B-C=\frac{\pi}{3} \ B+C=\frac{2\pi}{3} \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B=\frac{\pi}{2} \ C=\frac{\pi}{6} \end{array} ight.$. Vậy $A=\frac{\pi}{3},B=\frac{\pi}{2},C=\frac{\pi}{6}$. b) Ta có $0 < A,B,C < \pi$ và $A+B+C=\pi \Rightarrow B+C=\pi -A$. $\sin B.\cos C=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ \sin(B-C)+\sin(B+C) ight]=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \sin(B-C)+\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow \sin(B-C)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin(B-C)=\frac{1}{2}\Rightarrow B-C=\frac{\pi}{6}$ (vì $0 < A,B,C < \pi \Rightarrow 0 < B-C < \pi$). Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l} B-C=\frac{\pi}{6} \ B+C=\frac{2\pi}{3} \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B=\frac{5\pi}{12} \ C=\frac{\pi}{4} \end{array} ight.$. $\Rightarrow A=\pi -B-C=\frac{\pi}{3}$ Vậy $A=\frac{\pi}{3},B=\frac{5\pi}{12},C=\frac{\pi}{4}$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 20