Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có
a) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$;
b) $\sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C=2\left( 1+\cos A\cos B\cos C \right)$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có a) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$; b) $\sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C=2\left( 1+\cos A\cos B\cos C ight)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $\sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ Mặt khác trong tam giác $ABC$ ta có $A+B+C=\pi$ $\Leftrightarrow \frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$. Suy ra $\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}$, $\sin\frac{C}{2}=\cos\frac{A+B}{2}$. Vậy $\sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ $=2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{C}{2}=2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2} \right)=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$. b) Ta có $\sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+1-\cos^{2}C$ $=2-\frac{\cos 2A+\cos 2B}{2}-\cos^{2}C$ $=2-\cos\left( A+B \right)\cos\left( A-B \right)-\cos^{2}C$. Vì $A+B+C=\pi$ suy ra $\cos\left( A+B \right)=-\cos C$ nên $2-\cos\left( A+B \right)\cos\left( A-B \right)-\cos^{2}C=2+\cos C\cos\left( A-B \right)+\cos C\cos\left( A+B \right)=2+\cos C\left[ \cos\left( A-B \right)+\cos\left( A+B \right) \right]=2+\cos C.2\cos A\cos B=2\left( 1+\cos A\cos B\cos C \right)$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 21