Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ không vuông ta đều có
a) $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$;
b) $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ không vuông ta đều có a) $	an A+	an B+	an C=	an A	an B	an C$; b) $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với $	an A+	an B=	an A	an B	an C-	an C=	an C\left( 	an A	an B-1 ight)$. (*) Do tam giác $ABC$ không vuông nên $A+B
eq \frac{\pi}{2}$ suy ra $	an A	an B-1=\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}-1=\frac{\sin A\sin B-\cos A\cos B}{\cos A\cos B}=\frac{-\cos\left( A+B ight)}{\cos A\cos B}
eq 0$ Vậy (*) $\Leftrightarrow \frac{	an A+	an B}{	an A	an B-1}=	an C$ $\Leftrightarrow \frac{	an A+	an B}{1-	an A	an B}=-	an C\Leftrightarrow 	an\left( A+B ight)=-	an C$. Đẳng thức cuối đúng vì $A+B+C=\pi$. b) Vì $A+B+C=\pi$ suy ra $\cot\left( A+B ight)=-\cot C$. Theo công thức cộng ta có $\cot\left( A+B ight)=\frac{1}{	an\left( A+B ight)}=\frac{1-	an A	an B}{	an A+	an B}=\frac{1-\frac{1}{\cot A\cot B}}{\frac{1}{\cot A}+\frac{1}{\cot B}}=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$ Suy ra $=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}=-\cot C\Leftrightarrow \cot A\cot B-1=-\cot C\left( \cot A+\cot B ight)$ Hay $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 22