Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có
a)$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$.
b) $\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có a)$	an\frac{A}{2}	an\frac{B}{2}+	an\frac{B}{2}	an\frac{C}{2}+	an\frac{C}{2}	an\frac{A}{2}=1$. b) $\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $	an\left( \frac{A}{2}+\frac{B}{2} ight)=	an\left( \frac{\pi}{2}-\frac{C}{2} ight)=\cot\left( \frac{C}{2} ight)=\frac{1}{	an\left( \frac{C}{2} ight)}$. Suy ra $\frac{	an\frac{A}{2}+	an\frac{B}{2}}{1-	an\frac{A}{2}	an\frac{B}{2}}=\frac{1}{	an\left( \frac{C}{2} ight)}$ $\Leftrightarrow 	an\frac{A}{2}	an\frac{C}{2}+	an\frac{B}{2}	an\frac{C}{2}=1-	an\frac{B}{2}	an\frac{A}{2}$. Tức là $	an\frac{A}{2}	an\frac{B}{2}+	an\frac{B}{2}	an\frac{C}{2}+	an\frac{C}{2}	an\frac{A}{2}=1$. b) Từ kết quả câu a) ta có $\frac{1}{\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}}+\frac{1}{\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}}+\frac{1}{\cot\frac{C}{2}\cot\frac{A}{2}}=1$ $\Leftrightarrow \cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 23