Bài tự luận · Bài 4
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 4
Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng $590635\cdot 10^{6}\,\text{km}$. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (theo nssdc. gsfc.nasa.gov).
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm $F_{1}$ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.
Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^{2}}{a^{2} }+\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>b>0)$.
Theo đề bài, ta có:
- Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng $590635\cdot 10^{6}\,\text{km}$, suy ra a = 590635.106.
- Elip có tâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow c=0,244.a=144114,94\cdot 10^{6}$.
Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là $M(x;y)$.
Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là $MF_{1}$.
$MF_{1}=a+\frac{c}{a}x$, vì $-a\leq x\leq a\Rightarrow a-c\leq MF_{1}\leq a+c \\ 590635\cdot 10^{6} -144114,94\cdot 10^{6} \leq MF_{1}\leq 590635\cdot 10^{6} +144114,94\cdot 10^{6} \\ 46520,06\cdot 10^{6} \leq MF_{1}\leq 734749,94\cdot 10^{6}$
Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là $46520,06\cdot 10^{6}$ km và $734749,94\cdot 10^{6}$ km.
Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^{2}}{a^{2} }+\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>b>0)$.
Theo đề bài, ta có:
- Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng $590635\cdot 10^{6}\,\text{km}$, suy ra a = 590635.106.
- Elip có tâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow c=0,244.a=144114,94\cdot 10^{6}$.
Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là $M(x;y)$.
Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là $MF_{1}$.
$MF_{1}=a+\frac{c}{a}x$, vì $-a\leq x\leq a\Rightarrow a-c\leq MF_{1}\leq a+c \\ 590635\cdot 10^{6} -144114,94\cdot 10^{6} \leq MF_{1}\leq 590635\cdot 10^{6} +144114,94\cdot 10^{6} \\ 46520,06\cdot 10^{6} \leq MF_{1}\leq 734749,94\cdot 10^{6}$
Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là $46520,06\cdot 10^{6}$ km và $734749,94\cdot 10^{6}$ km.