Bài tập nâng cao Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn · Bài 12
Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Để thu được nhiều tiền nhất hộ nông dân cần trồng $m\,\,{\rm ha}$ dứa và $n\,\,{\rm ha}$ củ đậu, biết rằng m;n là các số tự nhiên và tổng số công không quá 180. Tính giá trị $m+2n$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu. Điều kiện: $\begin{cases}0\leq x\leq 8\\0\leq y\leq 8\end{cases}$.
Tổng diện tích trồng là $x+y$ (ha); tổng số công cần thiết là $20x+30y$ (công).
Số tiền thu được là $T(x,y)=3x+4y$.
Ta có hệ bất phương trình $\begin{cases}0\leq x\leq 8\\0\leq y\leq 8\\x+y\leq 8\\20x+30y\leq 180\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}0\leq x\leq 8\\0\leq y\leq 8\\x+y\leq 8\\2x+3y\leq 18\end{cases}\quad(*)$.
Miền nghiệm của hệ $(*)$ là miền tứ giác $OABC$ (kề cả biên) với $O(0;0);A(0;6);B(6;2);C(8;0)$.
Khi đó $T(x;y)$ đạt cực đại tại một trong các đỉnh của tứ giác $OABC$.
Ta có: $T(0;0)=0;T(0;6)=24;T(6;2)=26;T(8;0)=24$.
Vậy giá trị lớn nhất của $T(x;y)$ bằng 26 (triệu đồng), khi đó $x=6,y=2$ (tức là hộ nông dân cần trồng $6ha$ dứa và $2ha$ củ đậu để có thể thu lại số tiền nhiều nhất).
Khi đó $\begin{cases}m=6\\n=2\end{cases}\Rightarrow m+2n=6+2.2=10$.
