Chứng minh rằng các dãy số $\left( u_{n}\right)$ sau đây có giới hạn $0$
a.$u_{n}=\frac{\sqrt{5^{n} }}{3^{n} +1 }$ b.$u_{n}=\frac{\left( -1 \right)^{n}}{2^{n+1} }-\frac{1}{3^{n+1} }$ c.$u_{n}=\frac{n+\cos \frac { n\pi}{5} } { n\sqrt{n}+\sqrt{n} }$ d. $\frac{\sin \,n}{n\sqrt{n}+1 }$

Question

Dạng 1: Dãy số có giới hạn 0 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số $ \left ( { U_{ n } } ight ) $ có giới hạn $ 0 $ , nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết $ lim\left ( { u_{ n } } ight )=0 $ hay $ u_{ n } o 0 $hay $ \mathop { lim } \limits_{ n o \infty } u_{ n } =0 $ Bằng cách sử dụng các kí hiện toán, định nghĩa trên có thể viết như sau: $ limu_{ n } =0\Leftrightarrow \left ( { ∀ε>0,∃n_{ 0 } :n>n_{ 0 } \Rightarrow \left | { u_{ n } } ight | < ε } ight ) $. Nhận xét: - Dãy số $ \left ( { U_{ n } } ight ) $ có giới hạn $ 0 $ khi và chỉ khi dãy số $ \left | { \left ( { U_{ n } } ight ) } ight | $ có giới hạn $ 0 $ . - Dãy số không đổi $ \left ( { U_{ n } } ight ) $ , với $ U_{ n } =0 $ thì dãy số có giới hạn $ 0 $ .(hay $ lim0=0 $) 2. Một số dãy số có giới hạn $ 0 $ $ lim\frac { 1 } { n }=0 $ $ lim\frac { 1 } { n ^ { 2 } }=0 $ $ lim\frac { 1 } { \sqrt[] { n } }=0 $ $ lim\frac { 1 } { \sqrt[3] { n } } $ $ lim\frac { 1 } { n ^ { \alpha } }=0 $ $ lim\frac { k } { n ^ { \alpha } }=0 $ 3. Định lí: Định lí 1: Cho hai dãy số: $ u_{ n } ,\,v_{ n } :\left \{ \begin{array}{l} \left | { u_{ n } } ight |\leq \,v_{ n } \ lim\left ( { v_{ n } } ight )=0 \end{array} ight.\Rightarrow lim\,u_{ n } =0 $ Định lí 2: Nếu $ \left | { q } ight | < 1 o limq ^ { n } =0 $ Chứng minh rằng các dãy số $\left( u_{n} ight)$ sau đây có giới hạn $0$ a.$u_{n}=\frac{\sqrt{5^{n} }}{3^{n} +1 }$ b.$u_{n}=\frac{\left( -1 ight)^{n}}{2^{n+1} }-\frac{1}{3^{n+1} }$ c.$u_{n}=\frac{n+\cos \frac { n\pi}{5} } { n\sqrt{n}+\sqrt{n} }$ d. $\frac{\sin \,n}{n\sqrt{n}+1 }$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a. $0 < u_{n}<\frac{\left( \sqrt{5} \right)^{n}}{3^{n} }=\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^{n}$ với mọi $n$ Vì $0 < \frac{\sqrt{5}}{3} < 1$ nên $\lim \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^{n} =0$ . Do đó $\lim u_{n}=0$ b. $\left| u_{n}\right|\leq \frac{1}{2^{n+1} }+\frac{1}{3^{n+1} } < \frac{1}{2^{n+1} }+\frac{1}{2^{n+1} }=\frac{1}{2^{n} }$ với mọi $n$ Vì $\lim \frac{1}{2^{n} }=0$ từ đó suy ra $\lim u_{n}=0$ c. $0\leq u_{n}\leq \frac{n+1}{\sqrt{n}\left( n+1 \right) }=\frac{1}{\sqrt{n} }$ với mọi $n$ Sử dụng định lí kẹp ta có $\lim u_{n}=0$ d.Vì $\left| \frac{\sin n}{n\sqrt{n}+1 } \right|=\frac{\left| \sin n \right|}{n\sqrt{n}+1 }\leq \frac{1}{n}$ với mọi $n$ và $\lim \frac{1}{n}=0$ nên $\lim \frac{\sin n}{n\sqrt{n}+1 }=0$

Bài tập nâng cao Giới hạn của dãy số · Bài 5