Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Tính số đo của góc nhị diện Phuơng pháp: Xác định vị trí của góc phẳng nhị diện (nằm trên mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện) rồi tính số đo của góc phẳng nhị diện đó.
Bài tự luận Góc nhị diện · Bài 3
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, $AC$ cắt $BD$ tại $O,SO\perp(ABCD)$. Tất cả các cạnh của hình chóp bằng $a$.
a) Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.
b) Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$. Tính $\cos\alpha$.
c) Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD),\beta$ là số đo của góc nhị diện $[A,d,D]$. Tính $\cos\beta$.
d*) Gọi $\gamma$ là số đo góc nhị diện $[B,SC,D]$. Tính $\cos\gamma$.
a) Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.
b) Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$. Tính $\cos\alpha$.
c) Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD),\beta$ là số đo của góc nhị diện $[A,d,D]$. Tính $\cos\beta$.
d*) Gọi $\gamma$ là số đo góc nhị diện $[B,SC,D]$. Tính $\cos\gamma$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $BO\perp AC,BO\perp SO$ nên $BO\perp(SAC)$. Suy ra góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng góc $BSO$. Xét tam giác $SBD$ có $SB=SD$ và $SB^{2}+SD^{2}=BD^{2}$ nên tam giác $SBD$ vuông cân tại $S$. Suy ra $\widehat{BSO}=45^{\circ}$, hay góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $45^{\circ}$.
b) Gọi $N$ là hình chiếu của $S$ trên $CD$. Khi đó, số đo của $[S,CD,A]$ bằng $\widehat{SNO}$, hay $\widehat{SNO}=\alpha$. Ta có:
$\cos\alpha =\frac{ON}{SN}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
c) Gọi $M$ là hình chiếu của $S$ trên $AB$. Vì $AB\parallel CD$ nên $d\parallel AB$ và $d\parallel CD$. Khi đó $SM\perp d,SN\perp d$. Suy ra số đo của $[A,d,D]$ bằng $\widehat{MSN}$, hay $\widehat{MSN}=\beta$.
Ta có: $\cos\beta =\frac{SM^{2}+SN^{2}-MN^{2}}{2SM\cdot SN}=\frac{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}-a^{2}}{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}$.
d*) Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $SC$. Vì $BD\perp(SAC)$ nên $BD\perp SC$. Suy ra $SC\perp(BHD)$ nên $SC\perp HD$. Vậy số đo của $[B,SC,D]$ bằng $\widehat{BHD}$, hay $\widehat{BHD}=\gamma$.
Vì hai tam giác $SBC,SCD$ đều nên $BH=DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Khi đó, ta có:
$\cos\gamma =\frac{HB^{2}+HD^{2}-BD^{2}}{2HB\cdot HD}=\frac{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}-(a\sqrt{2})^{2}}{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{-1}{3}$