Bài tập nâng cao · Bài 10
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 10
Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác $0$, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\left | { \Omega } \right |=9 ^{5} =59.049$ Gọi $A$ là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn $3$ chữ số phân biệt $a,\,b,\,c\,$ từ $9$ chữ số thập phân khác $0$ là ${ \rm{ C } }_{9} ^{3}$. Chọn hai chữ số còn lại từ ba chữ số đó, có hai trường hợp rời nhau sau đây:
TH1. Số lập ra có ba chữ số giống nhau, các chữ số còn lại khác nhau.
Số cách chọn ra chữ số lặp lại ba lần là $3$ Số cách sắp xếp ba chữ số giống nhau là: $C_{5} ^{3}$ Số cách sắp xếp hai chữ số còn lại là: $2!$ Vậy có $2.3.C_{5} ^{3}=60$ (số)
TH2. Số lập ra có hai chữ số mà mỗi số xuất hiện hai lần, chữ số thứ ba xuất hiện một lần.
Số cách chọn ra hai chữ số lặp lại từ ba chữ số $a,\,b,\,c\,$ là: $C_{3} ^{2}$ Số cách sắp xếp hai chữ số lặp lại đã chọn ở trên là: $C_{5} ^{2}.C_{3} ^{2}$ Vậy có $C_{5} ^{2}.C_{3} ^{2}.C_{3} ^{2}=90$ (số)
Vậy: $\left | { \Omega_{A} } \right |=(60+90){ \rm{ C } }_{9} ^{3}=150\cdot \frac{9!}{3!6!}=150\cdot 7\cdot 4\cdot 3={ \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } }$.
Kết luận: $P\left( { A } \right)=\frac { \left | { \Omega_{A} } \right | } { \left | { \Omega } \right | }=\frac { { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{. } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } } } { 59.049 }=\frac { { \rm{ 1 } }{ \rm{. } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } } } { 6.561 }\approx { \rm{ 0 } }{ \rm{, } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 6 } }$.
Số cách chọn $3$ chữ số phân biệt $a,\,b,\,c\,$ từ $9$ chữ số thập phân khác $0$ là ${ \rm{ C } }_{9} ^{3}$. Chọn hai chữ số còn lại từ ba chữ số đó, có hai trường hợp rời nhau sau đây:
TH1. Số lập ra có ba chữ số giống nhau, các chữ số còn lại khác nhau.
Số cách chọn ra chữ số lặp lại ba lần là $3$ Số cách sắp xếp ba chữ số giống nhau là: $C_{5} ^{3}$ Số cách sắp xếp hai chữ số còn lại là: $2!$ Vậy có $2.3.C_{5} ^{3}=60$ (số)
TH2. Số lập ra có hai chữ số mà mỗi số xuất hiện hai lần, chữ số thứ ba xuất hiện một lần.
Số cách chọn ra hai chữ số lặp lại từ ba chữ số $a,\,b,\,c\,$ là: $C_{3} ^{2}$ Số cách sắp xếp hai chữ số lặp lại đã chọn ở trên là: $C_{5} ^{2}.C_{3} ^{2}$ Vậy có $C_{5} ^{2}.C_{3} ^{2}.C_{3} ^{2}=90$ (số)
Vậy: $\left | { \Omega_{A} } \right |=(60+90){ \rm{ C } }_{9} ^{3}=150\cdot \frac{9!}{3!6!}=150\cdot 7\cdot 4\cdot 3={ \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } }$.
Kết luận: $P\left( { A } \right)=\frac { \left | { \Omega_{A} } \right | } { \left | { \Omega } \right | }=\frac { { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{. } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } } } { 59.049 }=\frac { { \rm{ 1 } }{ \rm{. } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } } } { 6.561 }\approx { \rm{ 0 } }{ \rm{, } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 6 } }$.