Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 11
Chọn ngẫu nhiên $6$ số tự tập $M=\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;\ldots;2018 \end{array} \right\}.$ Xác suất để chọn được $6$ số lập thành cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
* Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( { \Omega } \right)=C_{2018} ^{6}$ * Gọi biến cố A: “6 số lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương”
* Gọi 6 số cần lập có dạng: $a;aq;aq ^{2};aq ^{3};aq ^{4};aq ^{5} \,\left( { a,q\in \mathbb{N};\,q>1 } \right)$ Ta có: $q ^{5} \leq 2018\Rightarrow q\leq \sqrt[5]{2018}=4$ Với $q=2,$ ta có: $a.q ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 63\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;\ldots;63 \end{array} \right\}$. Vậy có $63$ cách chọn bộ 6 số lập thành cấp số nhân
Với $q=3,$ ta có: $a.3 ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 8\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right\}$. Có $8$ cách chọn
Với $q=4,$ ta có: $a.4 ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 1,9$. Chọn $a=1$. Vậy có $1$ cách chọn bộ $6$ số
Vậy $n\left( { A } \right)=1+8+63=72$ * $P\left( { A } \right)=\frac { n\left( { A } \right) } { n\left( { \Omega } \right) }=\frac { 72 } { C_{2018} ^{6} }$.
* Gọi 6 số cần lập có dạng: $a;aq;aq ^{2};aq ^{3};aq ^{4};aq ^{5} \,\left( { a,q\in \mathbb{N};\,q>1 } \right)$ Ta có: $q ^{5} \leq 2018\Rightarrow q\leq \sqrt[5]{2018}=4$ Với $q=2,$ ta có: $a.q ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 63\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;\ldots;63 \end{array} \right\}$. Vậy có $63$ cách chọn bộ 6 số lập thành cấp số nhân
Với $q=3,$ ta có: $a.3 ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 8\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right\}$. Có $8$ cách chọn
Với $q=4,$ ta có: $a.4 ^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 1,9$. Chọn $a=1$. Vậy có $1$ cách chọn bộ $6$ số
Vậy $n\left( { A } \right)=1+8+63=72$ * $P\left( { A } \right)=\frac { n\left( { A } \right) } { n\left( { \Omega } \right) }=\frac { 72 } { C_{2018} ^{6} }$.