Bài tự luận · Bài 34
Dạng 2. Xác định phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Bài tự luận Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 34
(CTST12) Tuổi thọ của một loại thiết bị do hai hãng A và B sản xuất được ghi lại ở bảng sau:
| Thời gian sử dụng (năm) | $[2;3)$ | $[3;4)$ | $[4;5)$ | $[5;6)$ | $[6;7)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Số thiết bị của hãng A | 3 | 12 | 26 | 19 | 0 |
| Số thiết bị của hãng B | 0 | 0 | 24 | 25 | 21 |
a) Sử dụng khoảng biến thiên, hãy cho biết thiết bị của hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn.
b) Sử dụng độ lệch chuẩn, hãy cho biết thiết bị của hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn.
| Thời gian sử dụng (năm) | $[2;3)$ | $[3;4)$ | $[4;5)$ | $[5;6)$ | $[6;7)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Số thiết bị của hãng A | 3 | 12 | 26 | 19 | 0 |
| Số thiết bị của hãng B | 0 | 0 | 24 | 25 | 21 |
a) Sử dụng khoảng biến thiên, hãy cho biết thiết bị của hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn.
b) Sử dụng độ lệch chuẩn, hãy cho biết thiết bị của hãng nào có tuổi thọ đồng đều hơn.
Xem lời giải
Lời giải
a) Khoảng biến thiên tuổi thọ của thiết bị hãng A là: $6-2=4$ (năm).
Khoảng biến thiên tuổi thọ của thiết bị hãng B là: $7-4=3$ (năm).
So sánh theo khoảng biến thiên, tuổi thọ của thiết bị hãng B ít phân tán hơn tuổi thọ của thiết bị hãng A.
Do đó thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.
b) Ta có bảng thống kê tuổi thọ của thiết bị theo giá trị đại diện:
| Tuổi thọ đại diện (năm) | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Số thiết bị của hãng A | 3 | 12 | 26 | 19 | 0 |
| Số thiết bị của hãng B | 0 | 0 | 24 | 25 | 21 |
* Xét mẫu số liệu của hãng A:
Cỡ mẫu là $n_1=3+12+26+19=60$.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}_1=\frac{3\cdot2,5+12\cdot3,5+26\cdot4,5+19\cdot5,5}{60}\approx4,5167$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$S_1^2\approx\frac{1}{60}\left(3\cdot2,5^2+12\cdot3,5^2+26\cdot4,5^2+19\cdot5,5^2\right)-4,5167^2\approx0,7161$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1\approx\sqrt{0,7161}$.
* Xét mẫu số liệu của hãng B:
Cỡ mẫu là $n_2=24+25+21=70$.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}_2=\frac{24\cdot4,5+25\cdot5,5+21\cdot6,5}{70}\approx5,4571$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$S_2^2\approx\frac{1}{70}\left(24\cdot4,5^2+25\cdot5,5^2+21\cdot6,5^2\right)-5,4571^2\approx0,6415$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2\approx\sqrt{0,6415}$.
Do $S_2<S_1$ nên khi so sánh theo độ lệch chuẩn, ta thấy tuổi thọ của thiết bị hãng B ít phân tán hơn tuổi thọ của thiết bị hãng A.
Do đó, thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.
Khoảng biến thiên tuổi thọ của thiết bị hãng B là: $7-4=3$ (năm).
So sánh theo khoảng biến thiên, tuổi thọ của thiết bị hãng B ít phân tán hơn tuổi thọ của thiết bị hãng A.
Do đó thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.
b) Ta có bảng thống kê tuổi thọ của thiết bị theo giá trị đại diện:
| Tuổi thọ đại diện (năm) | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Số thiết bị của hãng A | 3 | 12 | 26 | 19 | 0 |
| Số thiết bị của hãng B | 0 | 0 | 24 | 25 | 21 |
* Xét mẫu số liệu của hãng A:
Cỡ mẫu là $n_1=3+12+26+19=60$.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}_1=\frac{3\cdot2,5+12\cdot3,5+26\cdot4,5+19\cdot5,5}{60}\approx4,5167$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$S_1^2\approx\frac{1}{60}\left(3\cdot2,5^2+12\cdot3,5^2+26\cdot4,5^2+19\cdot5,5^2\right)-4,5167^2\approx0,7161$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1\approx\sqrt{0,7161}$.
* Xét mẫu số liệu của hãng B:
Cỡ mẫu là $n_2=24+25+21=70$.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}_2=\frac{24\cdot4,5+25\cdot5,5+21\cdot6,5}{70}\approx5,4571$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
$S_2^2\approx\frac{1}{70}\left(24\cdot4,5^2+25\cdot5,5^2+21\cdot6,5^2\right)-5,4571^2\approx0,6415$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2\approx\sqrt{0,6415}$.
Do $S_2<S_1$ nên khi so sánh theo độ lệch chuẩn, ta thấy tuổi thọ của thiết bị hãng B ít phân tán hơn tuổi thọ của thiết bị hãng A.
Do đó, thiết bị của hãng B có tuổi thọ đồng đều hơn.