Một cặp sinh đôi có thể sinh đôi cùng trứng hoặc sinh đôi khác trứng. Các cặp sinh đôi cùng trứng luôn cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi khác trứng, thì giới tính của mỗi đứa trẻ độc lập và có xác suất 0,5 là con trai. Một thống kê cho thấy, có khoảng $ 34\% $ cặp sinh đôi đều là trai, $ 30\% $ cặp sinh đôi đều là gái, $ 36\% $ cặp sinh đôi đều là một trai một gái.
a) Tính tỉ lệ cặp sinh đôi là sinh đôi cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi. Tính xác suất để cặp sinh đôi đó là sinh đôi cùng trứng, biết cặp đó cùng giới tính.

Question

TÓM TẮT KIẾN THỨC Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Ta có công thức xác suất toàn phần như sau $ P(B)=P(A∩B)+P( \bar A∩B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) $ Nếu có thêm giả thiết $ P(B)>0 $ thì ta có công thức Bayes sau đây: $ P(A\mid B)=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) }=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(B) } $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ n } (n\in \mathbb{N},n\geq 2) $ được gọi là một nhóm đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc (tức là $ A_{ i } ∩A_{ j } =∅,∀i
eq j $) và đồng thời $ A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } =Ω $. Hai biến cố $ A $ và $ \bar A $ luôn tạo thành một nhóm đầy đủ. Hiển nhiên $ ∅ $ và $ Ω $ cũng tạo thành một nhóm đầy đủ, được gọi là nhóm đầy đủ tầm thường. Với một nhóm đầy đủ $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,…,A_{ n } $ và biến cố $ B $ ta luôn có $B=\bigcup_{k=1}^{n}(B\cap A_k)$ nên $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { B∩A_{ k } } ight ) $ (do các biến cố $ B∩A_{ 1 } ,…,B∩A_{ n } $ đôi một xung khắc). Áp dụng công thức nhân ta được $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) $. Đây chính là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) cho trường hợp tổng quát. Công thức xác suất toàn phần ta nêu ở đầu mục này chính là trường hợp $ n=2 $. Đến đây ta cũng thiết lập được công thức Bayes cho trường hợp tổng quát như sau (với giả thiết $ P(B)>0 $): $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight )=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { P(B) }=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { \sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) };i=1,2,…,n $ Công thức Bayes giúp ta tính các xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ trong khi đã biết $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $ được xác định từ trước nên thường được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của $ B $ nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ và tính được xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Sau đó, nhà nghiên cứu biết được thông tin rằng biến cố $ B $ đã xảy ra. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ bằng cách tính xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ là xác suất xảy ra biến cố $ A_{ i } $ khi biến cố $ B $ đã xảy ra. Một cặp sinh đôi có thể sinh đôi cùng trứng hoặc sinh đôi khác trứng. Các cặp sinh đôi cùng trứng luôn cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi khác trứng, thì giới tính của mỗi đứa trẻ độc lập và có xác suất 0,5 là con trai. Một thống kê cho thấy, có khoảng $ 34\% $ cặp sinh đôi đều là trai, $ 30\% $ cặp sinh đôi đều là gái, $ 36\% $ cặp sinh đôi đều là một trai một gái. a) Tính tỉ lệ cặp sinh đôi là sinh đôi cùng trứng. b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi. Tính xác suất để cặp sinh đôi đó là sinh đôi cùng trứng, biết cặp đó cùng giới tính.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi. Xét các biến cố $ A $: "Cặp sinh đôi được chọn có cùng giới tính", $ B_{ 1 } $: "Cặp sinh đôi được chọn là sinh đôi cùng trứng", $ B_{ 2 } $: "Cặp sinh đôi được chọn là sinh đôi khác trứng". Ta tính được $ P(A)=0,64;P\left ( { A\mid B_{ 1 } } \right )=1 $ và $ P\left ( { A\mid B_{ 2 } } \right )=0,5 $. Đặt $ P\left ( { B_{ 1 } } \right )=x $ thì $ P\left ( { B_{ 2 } } \right )=1-x $ với $ 0\leq x\leq 1 $. Theo công thức xác suất đầy đủ $ P(A)=P\left ( { B_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 1 } } \right )+P\left ( { B_{ 2 } } \right )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 2 } } \right ) $ ta có $ 0,64=x+0,5(1-x) $ và tìm được $ x=0,28 $. Vậy tỉ lệ cặp sinh đôi là sinh đôi cùng trứng là $ 28\% $. b) Ta có $ P\left ( { B_{ 1 } \mid A } \right )=\frac { P\left ( { B_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A\mid B_{ 1 } } \right ) } { P(A) }=\frac { 0,28 } { 0,64 }=0,4375 $.

Bài tập nâng cao Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 5