Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Tập hợp và các phép toán trên tập hợp · Bài 4
Gọi $C_n$ là tập các số nguyên là bội của $n$. Khi nào chúng ta có các mối liên hệ sau?
a) $C_n\subset C_m$
b) $C_n\cap C_m=C_{nm}$.
a) $C_n\subset C_m$
b) $C_n\cap C_m=C_{nm}$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $C_n$ là tập các số nguyên là bội của $n$.
a) $n$ là bội của $m$.
b) Giả sử $C_n\cap C_m=C_{nm}$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $m,n$. Khi đó, $m=xd$ và $n=yd$, trong đó $x,y$ là các số nguyên tố cùng nhau. Chúng ta thấy $xyd\in C_n\cap C_m=C_{nm}$; do đó $xyd$ phải là bội của $nm$. Nghĩa là, tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $xyd=nmk=xyd^2k$. Từ đó, ta suy ra được $d=1$. Như vậy, từ mối liên hệ $C_n\cap C_m=C_{nm}$ ta chứng minh được $n,m$ là các số nguyên tố cùng nhau. Chiều ngược lại dành cho bạn đọc.
a) $n$ là bội của $m$.
b) Giả sử $C_n\cap C_m=C_{nm}$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $m,n$. Khi đó, $m=xd$ và $n=yd$, trong đó $x,y$ là các số nguyên tố cùng nhau. Chúng ta thấy $xyd\in C_n\cap C_m=C_{nm}$; do đó $xyd$ phải là bội của $nm$. Nghĩa là, tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $xyd=nmk=xyd^2k$. Từ đó, ta suy ra được $d=1$. Như vậy, từ mối liên hệ $C_n\cap C_m=C_{nm}$ ta chứng minh được $n,m$ là các số nguyên tố cùng nhau. Chiều ngược lại dành cho bạn đọc.