Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 40
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 cm³ (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Xem lời giải
Lời giải
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hộp lần lượt là $h,r$ (cm).
Dung tích của chiếc hộp là $V=\pi r^2h=500\Rightarrow h=\frac{500}{\pi r^2}$.
Diện tích của vỏ hộp là $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$.
Xét hàm số $f(r)=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$ ($r>0$).
Ta tính được $\min_{(0;+\infty)}f(r)=f\left(\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}\right)=150\sqrt[3]{4\pi}$.
Vậy $r=\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}\approx4,3$ cm và $h\approx8,6$ cm.
