Trong không gian $ Oxyz $, cho hình lập phương $ ABCD.A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ biết $ A\left ( { 0\,;0\,;0 } \right ) $, $ B\left ( { 1\,;0\,;0 } \right ) $, $ D\left ( { 0\,;1\,;0 } \right ) $, $ A_{ 1 } \left ( { 0\,;0\,;1 } \right ) $.Gọi $ \left ( { P } \right ){ \rm{ : } }\,\,ax+by+cz-3=0 $ (với $ a $, $ b $, $ c\in \mathbb{Z} ^ { * } $) là phương trình mặt phẳng chứa $ CD_{ 1 } $ và tạo với mặt phẳng $ \left ( { BB_{ 1 } D_{ 1 } D } \right ) $ một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của $ T=a+b+c $ bằng

Dễ dàng xác định được tọa độ một số đỉnh của hình lập phương như sau: $ C\left ( { 1\,;1\,;0 } \right ) $, $ D_{ 1 } \left ( { 0\,;1\,;1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ chứa $ C $, $ D_{ 1 } $ nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} a+b-3=0 \\ b+c-3=0 \end{array} \right. $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ có một vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { a\,;b\,;c } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { BB_{ 1 } D_{ 1 } D } \right ) $ có một vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 1;1;0 } \right ) $. Gọi $ \alpha $ là góc giữa mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ và $ \left ( { BB_{ 1 } D_{ 1 } D } \right ) $. Vì $ 0°\leq \alpha \leq 90° $ nên $ \alpha $ nhỏ nhất khi $ \cos\alpha $ lớn nhất. Ta có: $ \cos\alpha =\left | { \cos\left ( { \overset\rightarrow { n },\overset\rightarrow { AC } } \right ) } \right |=\frac { \left | { \overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { AC } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { AC } } \right | } $$ =\frac { \left | { a+b } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } }.\sqrt[] { 2 } } $ $ =\frac { 3 } { \sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { \left ( { 3-b } \right ) ^ { 2 } +b ^ { 2 } +\left ( { 3-b } \right ) ^ { 2 } } } $$ =\frac { 3 } { \sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { 3\left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +6 } } $$ \leq \frac { 3 } { \sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { 6 } } $$ =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Đẳng thức xảy ra khi $ b=2 $. Suy ra $ \alpha $ nhỏ nhất bằng $ 30° $ khi $ b=2 $; $ a=1 $; $ c=1 $. Vậy $ T=a+b+c=4 $.