(THPT Sóc Sơn - Hà Nội 2025) Người ta dự định đặt một máy chiếu ở vị trí $ A $ và lắp đặt một màn chiếu xoay quanh một trục $ Δ $ cố định. Trong không gian $ Oxyz $ giả sử $ A\left ( { 0;0;3 } \right ) $ và phương trình đường thẳng $ Δ $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=4-t \\ z=-2 \end{array} \right. $ (đơn vị trên mỗi trục là mét)

a) Sai. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $ Δ $ là $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;-1;0 } \right ) $. b) Đúng. Gọi $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng đi qua $ A $ và vuông góc với $ Δ $ thì $ \left ( { P } \right ) $ có vecto pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;-1;0 } \right ) $ nên có phương trình là: $ 1\left ( { x-0 } \right )-1\left ( { y-0 } \right )+0\left ( { z-3 } \right )=0⇔x-y=0 $. c) Đúng. Gọi $ K $ là hình chiếu của $ A $ lên mặt phằng $ \left ( { \alpha } \right ) $ chứa màn chiếu và $ H $ là hình chiếu của $ A $ lên đường thẳng $ Δ $ $ \left ( { Δ⊂\left ( { \alpha } \right ) } \right ) $. Đường thẳng $ Δ $ có vecto chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;-1;0 } \right ) $ và đi qua điểm $ M\left ( { 0;4;-2 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { 0;4;-5 } \right )⇒\left[ \overset\rightarrow { u },\overset\rightarrow { AM } \right]=\left ( { 5;5;4 } \right ) $. Ta có $ d\left ( { A,\left ( { \alpha } \right ) } \right )=AK\leq AH=d\left ( { A,Δ } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { AM } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right | }=\frac { \sqrt[] { 25+25+16 } } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 66 } } { \sqrt[] { 2 } }≈5,74 < 5,8 $. d) Đúng. Ta có: $ H\left ( { t;4-t;-2 } \right )\in Δ $; $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { t;4-t;-5 } \right ) $. $ H $ là hình chiếu của $ A $ lên $ Δ $ khi và chỉ khi $ AH⊥Δ⇔\overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { u }=0⇔1.t-1.\left ( { 4-t } \right )+0.\left ( { -5 } \right )=0⇔t=2⇒H\left ( { 2;2;-2 } \right ) $.