Đúng/Sai · Câu 7
Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz, $ cho điểm $ A\left ( { 3;1;1 } \right ) $ và đường thẳng $ d\,:\left \{ \begin{array}{l} x=3+2t \\ y=-2-t \\ z=-2-2t \end{array} \right.\,,\,t\in \mathbb{R}. $ Một mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ thay đổi chứa $ d. $
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
Mặt phẳng qua $ A\left ( { 3;1;1 } \right ) $, nhận véc tơ $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { -2;1;2 } \right ) $ là véc tơ pháp tuyến có phương trình là
$ -2x+y+2z+3=0⇔2x-y-2z-3=0 $.
c) Đúng
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên đường thẳng d$ ⇒H\left ( { 3+2t;-2-t;-2-2t } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { 2t;-3-t;-3-2t } \right ) $.
Vì $ \overset\rightarrow { AH }⊥\overset\rightarrow { u }⇒\overset\rightarrow { AH }⋅\overset\rightarrow { u }=0⇔-2⋅2t-3-t+2\left ( { -3-2t } \right )=0 ⇒t=-1 $. Vậy $ H\left ( { 1;-1;0 } \right ) $
d) Đúng
Vì $ d⊂\left ( { P } \right ) $ nên $ d\left ( { A;\left ( { P } \right ) } \right )\leq d\left ( { A;d } \right )=AH $. Vậy $ maxd\left ( { d;\left ( { P } \right ) } \right )=AH $, xảy ra khi $ \overset\rightarrow { AH }⊥\left ( { P } \right ) $
Khi đó mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ H\left ( { 1;-1;0 } \right ) $ và có véc tơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { -2;-2;-1 } \right ) $ có phương trình tổng quát là $ -2x-2y-z=0 $. Ta thấy (P) đi qua gốc tọa độ $ O\left ( { 0;0 } \right ) $