(Sở Quảng Nam 2025) Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{3}$ và điểm $A(2;3;-1)$.

a) Đúng Vì thay toạ độ điểm $A(2;3;-1)$ vào đường thẳng $d$ ta thấy không thoả mãn. b) Sai Vì $(P) \perp d$ nên $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u_{d}} = (2;1;3)$. Do đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$ 2(x-2) + 1(y-3) + 3(z+1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 3z - 4 = 0 $$ c) Đúng Ta có phương trình tham số của $d$ là: $$ d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 + 3t \end{cases} $$ Gọi $K = d \cap (P)$. Thay tọa độ $K$ vào phương trình $(P)$: $$ 2(1 + 2t) + (-2 + t) + 3(3 + 3t) - 4 = 0 \Leftrightarrow 14t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{5}{14} $$ Suy ra $K\left(\frac{2}{7}; -\frac{33}{14}; \frac{27}{14}\right)$. d) Đúng Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $d$. Với mọi mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$, ta luôn có $d(A, (Q)) \leq AH$. Khoảng cách này lớn nhất khi $(Q)$ đi qua $H$ và vuông góc với $AH$. Vì $H \in d$ nên $H(1+2t; -2+t; 3+3t)$. $\overrightarrow{AH} = (2t-1; t-5; 3t+4)$. Vì $AH \perp d$ nên $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{u_{d}} = 0$: $$ 2(2t-1) + 1(t-5) + 3(3t+4) = 0 \Leftrightarrow 14t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{5}{14} $$ Suy ra $\overrightarrow{AH} = \left(-\frac{12}{7}; -\frac{75}{14}; \frac{41}{14}\right)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $H$ và nhận $\overrightarrow{AH}$ làm vectơ pháp tuyến: $$ -\frac{12}{7}(x-1) - \frac{75}{14}(y+2) + \frac{41}{14}(z-3) = 0 \Leftrightarrow 24x + 75y - 41z + 249 = 0 $$