Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x-2y+z=0$, đường thẳng $d:\begin{cases} x=2+t \\ y=-3t \\ z=1+t \end{cases}$ và hai điểm $A(2;1;0), B(2;-3;4)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng. Ta có: $2 - 2(1) + 0 = 0 \Rightarrow A \in (P)$. b) Sai. Gọi $I = d \cap (P)$. $I \in d \Rightarrow I(2+t; -3t; 1+t)$. Thay vào $(P): (2+t) - 2(-3t) + (1+t) = 0 \Leftrightarrow 8t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{3}{8}$. Hoành độ $x_I = 2 + t = 2 - \frac{3}{8} = \frac{13}{8}$. Mệnh đề sai. c) Đúng. Đường thẳng $d'$ qua $B(2;-3;4)$ và $d' \perp (P)$ nhận $\overrightarrow{n_{P}}=(1;-2;1)$ làm vectơ chỉ phương: $$ d': \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -3 - 2t \\ z = 4 + t \end{cases} $$ $H = d' \cap (P)$. Thay $H$ vào $(P)$: $$ (2+t) - 2(-3-2t) + (4+t) = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = -2 $$ Suy ra $H(0; 1; 2)$. Khi đó $a+b+c = 0+1+2 = 3$. d) Đúng. Gọi $A' = \Delta \cap (P)$. Vì $\Delta \perp (P)$ nên $AA' = d(A, \Delta) = \sqrt{2}$. Gọi $H(0;1;2)$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(P)$ (theo ý c). Vì $BH \perp (P)$ và $\Delta \perp (P)$ nên $BH \parallel \Delta$, suy ra $d(B, \Delta) = HA'$. Mặt khác $\overrightarrow{HA} = (2;0;-2) \Rightarrow HA = 2\sqrt{2}$, và $A'$ chạy trên đường tròn nằm trong $(P)$, tâm $A$, bán kính $AA' = \sqrt{2}$. Do đó $d(B,\Delta) = HA' \le HA + AA' = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $A$ nằm giữa $H$ và $A'$, tức là $\overrightarrow{AA'} = \sqrt{2}\cdot\dfrac{\overrightarrow{HA}}{HA} = (1;0;-1) \Rightarrow A'(3;1;-1)$. Vậy khi khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ đạt giá trị lớn nhất thì $\Delta$ đi qua điểm $M(3;1;-1)$. Mệnh đề đúng.