(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2025) Trong một mô hình trồng rau muống thông minh, các học sinh lắp đặt hệ thống vòi phun tự động, mỗi vòi phun được gắn trên trụ cao $1,5\,m$ tại vị trí $A(2;3;1,5)$, phun nước theo hướng vec tơ $\vec{v}=(1;-2;-3)$. Mặt đất là mặt phẳng $z=0$, tán cây được mô hình bằng mặt phẳng $z=1,8$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Tia nước được mô hình hóa bởi phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=2+t \ y=3-2t \ z=1,5-3t \end{array} ight.$, với $t \geq 0$. Đúng. b. Tia nước chạm mặt đất tại $B(2,5;2;0)$. Đúng. c. Tia nước không chạm mặt phẳng tán cây $z=1,8$. Đúng. d. Góc giữa tia nước và mặt đất là khoảng $56,3^{\circ}$ (lấy chính xác đến hàng phần mười theo đơn vị độ). Sai. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Tia nước đi qua điểm $A(2;3;1,5)$ và nhận vec tơ $\vec{v}=(1;-2;-3)$ là vec tơ chỉ phương có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x=2+t \ y=3-2t \ z=1,5-3t \end{array} ight.$, với $t \geq 0$. b) Xét giao điểm của tia nước và mặt đất ($z=0$): $1,5-3t=0 \Rightarrow t=0,5$. Giao điểm là $B(2,5;2;0)$. c) Xét giao điểm của tia nước và mặt phẳng tán cây ($z=1,8$): $1,5-3t=1,8 \Rightarrow 3t=-0,3 \Rightarrow t=-0,1$ (loại do $t \geq 0$). Vậy tia nước không chạm mặt phẳng tán cây. d) Vec tơ chỉ phương của tia nước là $\vec{v}=(1;-2;-3)$, vec tơ pháp tuyến của mặt đất là $\vec{n}=(0;0;1)$. $\sin\alpha = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + (-3) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow \alpha \approx 53,3^{\circ}$.

Cùng dạng: Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, giao điểm hai đường thẳng